Integrali: Esercizi e Prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Significato dell'integrale

Considero una molla vincolata all'estremo "O" spostata dalla posizione di riposo tramite una forza F applicata all'estremo libero P.

Dove

F = k (x - x_o)

Il lavoro L

L = F . s

Ma se lo spostamento fosse piccolissimo s = dx avrei un valore infinitesimo del lavoro pari a

dL = F . dx

Se il punto d'applicazione si sposta di x - xo, il valore di F sarà

L = Σ F . dx

Questa espressione è tanto corretta quanto dx è piccolo e fornisce il lavoro effettivo quando dx -> 0

L = lim Σ F . dxdx -> 0

ovvero

L = ∫_xo^x F . dx

Dove ∫ è il simbolo di raffigurazione che rappresenta il limite di una somma.

Dal punto di vista matematico la ricerca dell'integrale indefinito di una funzione f(x) si esprime nel modo seguente

∫ f(x) dx

Significato dell'integrale

Considero una molla vincolata all'estremo "O" spostata dalla posizione di

riposo tramite una forza F applicata all'estremo libero P.

Dove

F = k (x - x_o)

Il lavoro è

L = F . s

Ma se lo spostamento fosse piccolissimo s = dx avrò un valore infinitesimo

del lavoro pari a

dL = F . dx

Se il punto d'applicazione si sposta di x - x_o, il valore di F sarà

L = Σ F . dx

Quest'espressione è tanto corretta quanto dx è piccolo e fornisce il lavoro

effettivo quando dx → 0

L = lim_{dx → 0} Σ F . dx

ovvero

L = ∫_xo^x F . dx

Dove ∫ il simbolo di rappresentazione che rappresenta il limite di una

somma.

Dal punto di vista matematico la ricava dell'integrale indefinito di una

funzione f(x) si esprime nel modo seguente:

∫ f(x) dx

dove f(x) è la funzione integranda e ∫ è un operatore.

L'intuito è quello di partire da una funzione f(x) ed approdare ad un'altra funzione F(x) tale che

D F(x) = _d/_dx [F(x)] = f(x).

ovvero:

∫ f(x) dx = F(x) ovvero F(x) è la primitiva di f(x).

Metodi di integrazione

1. Integrazione per sostituzione
2. Integrazione per parti
3. Integrazione del tipo f(x)/g(x) con g(x) > f(x) di grado

Integrazione per sostituzione

1. ∫f(x)f'(x) dx = ∫f(t) dt, f(x) = t => Pongo f(x) = t => ∫t dt = ^t2/₂ + c => ^f(x)2/₂ + c
2. ∫^f'(x)/_f(x) dx = ∫¹/_t dt => Pongo f(x) = t => ∫¹/_t dt = log|t| + c = log|f(x)| + c
3. ∫[f(x)]^mf'(x) dx = ∫[f(x)]^mf'(x) dx => Pongo f(x) = t => ∫t^m dt = ^tm+1/_m+1 + c = [f(x)]^m+1/_m+1 + c
4. ∫^f'(x)/_[f(x)]ⁿ dx = ∫¹/_[f(x)]ⁿ dt => Pongo f(x) = t => ∫¹/_tⁿ dt = ^t-m+1/_-m+1 + c = [f(x)]^-m+1/_-m+1 + c

Riepilogo

1. ∫f(x)f'(x) dx = ^[f(x)]2/₂ + c
2. ∫^f'(x)/_f(x) dx = log|f(x)| + c
3. ∫[f(x)]^mf'(x) dx = [f(x)]ⁿ⁺¹/_m+1 + c
4. ∫^f'(x)/_[f(x)]ⁿ dx = -¹/_m-1[f(x)]^-m+1 + c

Exemp:

1. _∫ (x² - 5) x d x

   _∫ (x² - 5) x d x = ^a) _∫ (x² - 5) d (¹/₂ x² - 5) = ¹/₂ (x² - 5)² + c

2. _∫ (2 x - 3)⁵ d x

   _∫ (2 x - 3)⁵ d x = ^a) _∫ (2 x - 3)⁵ . 2 d x = ¹/₂ (_∫ (2 x - 3)⁵ d (2 x - 3)) = ¹/₁₂ (2 x - 3)⁶ + c

3. _∫ sen x cos x d x

   _∫ sen x cos x d x = ^a) _∫ sen x d sen x = _{sen² x}/₂ + c

4. _∫ tg x d x

   _∫ tg x d x = _∫ ^{sen x}/_{cos x} d x = ^b) -_∫ ¹/_{cos x} d (cos x) = - lg |cos x| + c

5. _∫ ^{(2 x - 3)}/_{(x² - 3x + 4)³} d x

   _∫ ^{2 x - 3}/_{(x² - 3x + 4)³} d x = ^d) _∫ ¹/_{(x² - 3x + 4)²} d (x² - 3x + 4) = _∫ (x² - 3x + 4)^-2 d (x² - 3x + 4) = ^{(x² - 3x + 4)-2+1}/_-2+1

   = (x² - 3x + 4)^-4 + c

6. _∫ ^{cos x}/_{sen³ x} d x

   _∫ ^{cos x}/_{sen³ x} d x = ^d) _∫ ¹/_{sen³ x} d sen x = _∫ sen (x)^-3 d sen x = ^{sen x}/_-3+1 + c = -^sen²(x)