Integrali: Esercizi e Prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Significato dell'integrale

Consideravo una molla vincolata all'estremo "0" spostata dalla posizione di riposo tramite una forza F applicata all'estremo libero P.

Dove

F = k(x - x₀)

Il lavoro è

L = F . s

Ma se lo spostamento fosse piccolissimo si dovrà avere un lavoro infinitesimo del lavoro pari ad

L = F . dx

Se il punto d'applicazione si sposta di x - x₀, il valore di F sarà

L = ∑ F . dx

Questa espressione è tanto ovvia quanto dx è piccolo a fornire il lavoro effettivo quando dx → 0

L = lim ∑ F . dx

dx→0

ovvero

L = ∫_x0^x F . dx

Dove ∫ è il simbolo di rappresentazione che rappresenta il limite di una somma.

Dal punto di vista matematico la ricerca dell'integrale indefinito di una funzione f(x) si esprime nel modo seguente

∫ f(x) dx

Significato dell'integrale

Considero una molla vincolata all'estremo "O" spostata dalla posizione di riposo tramite una forza F applicata all'estremo libero P.

Dove

F = k(x - x₀)

Il lavoro è

L = F . s

Ma se lo spostamento fosse piccolissimo si deve avere un valore infinitesimo del lavoro pari ad

L = F . dx

Se il punto d'applicazione si sposta di x - x₀, il valore di F sarà

L = Σ F . dx

Questa espressione è tanto ovvia quanto dx è piccolo e fornisce il lavoro effettivo quando dx -> 0

L = lim Σ F . dx

dx->0

ovvero

L = ∫_x0^x F . dx

Dove ∫ è il simbolo di rappresentazione che rappresenta il limite di una somma.

Dal punto di vista matematico la ricerca dell'integrale indefinito di una funzione f(x) si esprime nel modo seguente

∫ f(x) dx

Dove f(x) è la funzione integranda e un operatore.

L'intento è quello di partire da una funzione f(x) ed operare ad un'altra funzione F(x) tale che

D F(x) = d/dx [F(x)] = f(x)

ovvero:

∫ f(x) dx = F(x) ovvero F(x) è la primitiva di f(x).

Metodi d'integrazione

• Integrazione per sostituzione
• Integrazione per parti
• Integrazione del tipo f(x)/g(x) con g(x) > f'(x) di grado

Integrazione per sostituzione

a) ∫ f(x) f'(x) dx = ∫ f(x) d f(x) => Pongo f(x)= t => ∫ t dt = 1/2 t² + c => 1/2 [f(x)]² + c

b) ∫ f'(x)/f(x) dx = ∫ 1/f(x) d f(x) => Pongo f(x)= t => ∫ 1/t dt = log|t| + c = log|f(x)| + c

c) ∫ [f(x)]^m f'(x) dx = ∫ [f(x)]^m d(f(x)) => Pongo f(x)= t => ∫ t^m dt = t^m+1/(m+1) + c = [f(x)]^m+1/(m+1) + c

d) ∫ f'(x)/[f(x)]^m dx = ∫ 1/[f(x)]^m d(f(x)) => Pongo f(x)= t => ∫ 1/t^m dt = t^-m+1/(-m+1) + c = [f(x)]^-m+1/(-m+1) + c

Riepilogo

a) ∫ f(x) f'(x) dx = 1/2 [f(x)]² + c

b) ∫ f'(x)/f(x) dx = log|f(x)| + c

c) ∫ [f(x)]^m f'(x) dx = [f(x)]^m+1/(m+1) + c

d) ∫ f'(x)/[f(x)]^m dx = -1/(m-1) [f(x)]^-m+1 + c

Esempi

1) ∫ (x² - 5) 2x dx

∫ (x² - 5) 2x dx = ∫ (x² - 5) d(x² - 5) = 1/2 (x² - 5)² + c

2) ∫ (2x - 3)⁵ dx

∫ (2x - 3)⁵ dx = 1/2 ∫ (2x - 3)⁵ 2 dx = 1/2 ∫ (2x - 3)⁵ d(2x - 3) = 1/12 (2x - 3)⁶ + c

3) ∫ sen x cos x dx

∫ sen x cos x dx = ∫ sen x d sen x = sen²x / 2 + c

4) ∫ tg x dx

∫ tg x dx = ∫ sen x / cos x dx = - ∫ 1 / cos x d(cos x) = - lg |cos x| + c

5) ∫ (2x - 3) / (x² - 3x + 1)² dx

∫ (2x - 3) / (x² - 3x + 1)² dx = ∫ 1 / (x² - 3x + 1)² d(x² - 3x + 1) = ∫ (x² - 3x + 1)^-2 d(x² - 3x + 1) = (x² - 3x + 1)^-2+1 / (-2+1) = -(x² - 3x + 1)^-1 + c

6) ∫ cos x / sen³x dx

∫ cos x / sen³x dx = ∫ 1 / sen³x d sen x = ∫ sen(x)^-3 d sen x = sen(x)^-3+1 / -3+1 + c = -sen(x)^-2/2 + c

7) ∫ (1 - cos x) / (x - sen x)² dx

∫ (1 - cos x) / (x - sen x)² dx = ∫ 1 / (x - sen x)² d(x - sen x) = - 1 / (x - sen x) + c

8) ∫ x² / (x³ - 3) dx

∫ x² / (x³ - 3) dx = 1/3 ∫ 1 / (x³ - 3) d(x³ - 3) = 1/3 log |x³ - 3| + c

Integrazione per parti

∫ f(x) . g'(x) dx = f(x) d[g(x)] = ∫ d[f(x) . g(x)] - ∫ g(x) d[f(x)] = f(x)g(x) - ∫ g(x) d[f(x)]

Quindi