Integrali curvilinei e primitive - Esercizi

Analisi II, a.a. 2010-2011 – Esercizi 7 – 9 dicembre 2010©§

1) Lunghezza degli archi di curva

Calcolare la lunghezza dei seguenti archi di curva:

(i) Arco della parabola f (x) = x fra i punti di ascissa x = 0 e x = 1; √√ 3 e x = 8;

(ii) Arco della curva f (x) = log x fra i punti di ascissa x = · ≤ ≤

(iii) Arco della spirale di Archimede r(θ) = a θ (a > 0) per 0 ≤ θ ≤ 2π;

(iv) Lunghezza totale dell’asteroide x^2/3 + y^2/3 = 1.

2) Calcolo di ω

Calcolare ω nei casi seguenti:

γ −ω(x, y) = (x + y)dx + (x y)dy, γ = arco di circonferenza unitaria fra (1, 0) e (0, 1)dx² 2 2

ω(x, y) = + (x + y²)dy, γ = arco di parabola y = x² fra (1, 1) e (2, 4)x + y −

ω(x, y, z) = y dx z dy + x dz, γ = segmento fra (0, 0, 1) e (1, 1, 2).

Queste forme sono chiuse? Hanno una primitiva, ossia sono esatte? E in caso affermativo quali sono tutte le primitive? [Nota: per rispondere alla seconda domanda, risolvere direttamente le equazioni D f = ω, . . . ].

3) Forma differenziale su Ω

{(x, y) : x² + y² = 0}, e sia Ω = y xy −dx dy.

ω = 2 2(x + y) (x + y)

Determinare se ω(x, y) è chiusa, esatta, e in caso affermativo calcolarne tutte le primitive. In generale, se ω(x) è una forma esatta su un aperto Ω di R, con primitiva f, come si possono descrivere tutte le altre primitive di ω?

4) Integrale di una forma differenziale

Data la forma ω(x, y) = e^y dx + (1 + xe^y)dy, calcolare il suo integrale sulla curva y = x + e cos x fra i punti di ascissa x = 0 e x = 1.

5) Determinazione di ξ

Determinare ξ in C¹(R), con ξ(0) = 0, tale che la forma differenziale

−ω(x, y) = [2x + ξ(y)] dx + [x(y ξ(y))] dy,

sia esatta, e calcolarne la primitiva che si annulla nell’origine.

6) Determinazione di f

Sia ω(x, y) = y f (x) dx + x f (y) dy. Determinare f affinché ω sia esatta in R².

7) Forma differenziale e integrale lungo γ

Data la forma differenziale ω(x, y) = 2x ξ(y) dx + x ξ(y) dy, determinare l’unica funzione ξ tale che ξ(0) = 1 e che ω sia esatta in R². Successivamente, calcolare l’integrale di ω lungo la curva γ di equazione ρ = θ², 0 ≤ θ ≤ π.

8) Forma differenziale con parametri

Data la forma differenziale

ω(x, y) = px + qy rx + sy dx + dy, p, q, r, s ∈ R.

x² + y² x² + y²

Determinare per quali valori dei parametri la forma è chiusa in R² \ {(0, 0)}, e per quali valori è esatta. In corrispondenza di tali valori, calcolare le primitive.

9)

Dopo aver stabilito se è contin