Integrali complessi e funzioni olomorfe

Analisi II, a.a. 2010-2011 — Esercizi 8 — 16 dicembre 2010

1)

Trovare tutte le funzioni a(x, y, z) ∈ C¹(R³) tali che la forma differenziale y dx + x dy + a(x, y, z) dz sia esatta, e calcolare tutte le primitive.

Allo stesso modo, trovare tutte le funzioni a(y), b(x) ∈ C¹(R) tali che la forma differenziale a(y) dx + b(x) dy sia esatta, e calcolare tutte le primitive.

2)

Sia f : [a, b] → R una funzione di classe C¹ strettamente positiva. Dimostrare che l’area del sottografico E di f è uguale a ∫_γ xdy, dove γ è il bordo di E percorso una volta in senso antiorario.

Si può anche esprimere come −∫_γ ydx o anche come 1/2 ∫_γ (xdy − ydx); il risultato è sempre lo stesso.

3)

Calcolare l’integrale delle seguenti forme lungo la circonferenza di centro l’origine e raggio 2 dal punto (2, 0) al punto (0, 2) in senso antiorario.

[Suggerimento: in qualche caso, conviene scegliere un cammino più comodo o addirittura trovare una primitiva...]

• ω = 4x³ dx + 4y³ dy;
• ω = y sin(xy)dx + x sin(xy)dy;
• ω = (xdx + ydy)/(4√(x² + y²)).

4)

(i) Se f(z) è olomorfa, la funzione f(z) è olomorfa? E la funzione f(z)?

(ii) Calcolare i seguenti integrali complessi lungo la circonferenza di centro 0 e raggio 2, percorsa una volta in senso antiorario:

∫_γ e^z dz,   ∫_γ 1/(z + 1) dz,   ∫_γ z³ dz,   ∫_γ (z³ − z)dz,   ∫_γ (z³ − z)/z² dz.

5)

Dimostrare che non esiste nessuna funzione olomorfa f(z) tale che <(f(z)) = 3x + y². Trovare due funzioni continue su C la cui parte reale è 3x + y².

6)

Determinare una funzione (non nulla) φ : R → R di classe C² tale che u(x, y) = φ(x) sen(y) sia la parte reale di una funzione olomorfa su C.

Successivamente, determinare almeno una funzione olomorfa di cui u sia la parte reale.

7)

Calcolare, al variare di n,

I_n = ∫₀^2π i [2 cos(θ)]²ⁿ dθ,

dimostrando che si ha

I_n = ∫_γ (z + 1/z)²ⁿ dz/z,   γ = e^iθ,   θ ∈ [0, 2π],

e successivamente calcolando quest’ultimo integrale.

8)

Calcolare

∫_γ (z + 4)/(2z(z + 1)) dz,

dove γ è la circonferenza di centro l’origine e raggio 4, percorsa in senso antiorario.

9)

Verificare se la seguente forma differenziale è esatta:

[sin(x + y) − sin x − sin z]dx + [sin(x + y) − cos(y − z)]dy + [cos x − cos z + cos(y − z)]dz.