Insieme di definizione e segno della funzione con arcocoseno logaritmo e radice

Esercizio insieme di definizione e segno della funzione con arcocoseno, logaritmo e radice quadrata

Si studino l'insieme di definizione ed il segno della funzione definita da:

f(x) = arcsin (√log²x − log x − log x + 1).

Esercizio insieme di definizione e segno della funzione con arcocoseno, logaritmo e radice quadrata

Si studi l'insieme di definizione ed il segno della funzione definita da: f(x) = \text{arcsin} \left(\sqrt{\log^2 x - \log x - \log x + 1}\right).

Insieme di definizione e segno della funzione

Si studino l'insieme di definizione e il segno della funzione definita da: f(x) = arcsin (√log₂x - log_x - log_x + 1)

Insieme di definizione

Partiamo dall'insieme di definizione: in accordo con le regole per determinare il dominio di una funzione, bisogna risolvere il sistema:

• √log₂x - log_x - log_x + 1 ≤ 1 (1)
• Log₂x - log_x ≥ 0 (2)
• X > 0 (3)

Per la (1) segue che dobbiamo risolvere un ulteriore sistema composto da:

• Log_x - 2 ≤ √log₂x - log_x
• √log₂x - log_x ≥ log_x - 2 (4)
• √log₂x - log_x ≤ log_x (5)

Per la (4), si ha per la regola delle disequazioni irrazionali, equivalente a risolverla in tal modo:

• Log₂x - log_x ≥ 0
• Log_x - 2 ≥ 0
• Log₂x - log_x x - 2)²
• X ≤ 1 ∨ x ≤ e
• X 2∪
• X ≥ e²
• X ≥ e^1/3

Quindi per la (4), è verificata per x ≤ 1 ∨ x ≥ e.

Per la (5), invece si ha:

• Log₂x - log_x > 0
• Log_x > 0
• Log₂x - log_x 2x²
• X ≤ 1 ∨ x ≥ e∪
• X ≥ e

Pertanto abbiamo che la disequazione (1) è verificata per, x ≤ 1 ∨ x ≥ e

x ≥ e ∴ x ≥ e

Ora per la (2) si ha:

log₂ x - log x ≥ 0

log x (log x - 1) ≥ 0

• { Log x ≤ 0
• Log x - 1 ≥ 0
• Log x < log e^-1      v      log x ≥ log e
• X < e^-1 v x ≥ e

Pertanto l'insieme di definizione è composto dal sistema formato dalle soluzioni della (1), (2), e (3), ovvero:

• { X ≥ e
• X < e^-1 v x ≥ 0        →    x ≥ e
• X > 0

Quindi l'insieme di definizione è E = { x &in; ℜ | x ≥ e }

Segno della funzione

Passiamo a studiarne il segno.

Dice il segno della funzione √(log₂ x - log x) - log x + 1) > 0 è verificata per valori compresi tra 0 e 1, di conseguenza risolviamo la disequazione:

0 ≤ √(log₂ x - log x) - log x + 1 ≤ 1

cioè

• √(log₂ x - log x) - log x - 1
• {√(log₂ x - log x ≤ log x (6)
• (7)

Per la (6) abbiamo che:

• { Log x - 1 > 0
• (log x - 1)² log₂ x - log x > 0
• { Log x > 1
• (log x - 1)²log x - 1 < 0
• → X ≤ 1    v    x > e
• X < e