Il sistema gravitazionale pi semplice

Il sistema gravitazionale più semplice

Gravitazione

Il sistema gravitazionale più semplice

Gravitazione

Analizzare il moto di un sistema isolato costituito da due corpi celesti di masse m₁ ed m₂, poco diverse tra loro, che si muovono su orbite circolari con rispettivi raggi r₁ ed r₂, determinando in particolare il rapporto costante che esprime, per i due corpi, la terza legge di Keplero.

(Figura 9.5)

L’analisi generale del moto di un sistema di questo tipo, prende il nome di “problema dei due corpi”. Nel caso di orbite ellittiche, esso è abbastanza complesso e richiede l’uso del calcolo differenziale. Considerazioni più semplici sono invece possibili per le orbite circolari.

Innanzitutto osserviamo che i due corpi in questione si muovono entrambi attorno al centro di massa del sistema. Poiché la forza gravitazionale agisce sempre lungo la congiungente dei due corpi, essi, in ogni punto delle rispettive orbite circolari, dovranno trovarsi sempre allineati con il centro di massa C che è anche il centro delle rispettive circonferenze orbitali (Figura 9.5).

I raggi di tali circonferenze sono ovviamente diversi tra loro perché per ipotesi le due masse non sono uguali (nella definizione il centro di massa C si trova più vicino alla massa maggiore). Nel caso particolare m₁ = m₂ i due corpi si muoverebbero sulla stessa circonferenza mantenendosi sempre diametralmente opposti (avrebbero quindi anche la stessa velocità).

Dopo queste premesse, dette v₁ e v₂ le rispettive velocità e ricordando che la forza gravitazionale che agisce sui due corpi è la stessa, possiamo concludere che anche le rispettive forze centripete debbono essere uguali. Dunque:

^m₁v₁2/_r1 = ^m₂v₂2/_r2 (1)

D’altra parte, poiché i due corpi descrivono le rispettive orbite come se il segmento AB di Figura 9.5 fosse una sbarretta rigida che li unisce, essi dovranno muoversi con la stessa velocità angolare ω e ciò implica che anche il periodo di rivoluzione T dovrà essere lo stesso. Pertanto si verificano le condizioni:

v₁ = ω r₁ = ^2π/_T r₁

v₂ = ω r₂ = ^2π/_T r₂

Eseguendo il rapporto membro a membro delle due precedenti equazioni si deduce:

^v₁/_v2 = ^r₁/_r2 (2)

Dall’equazione (1) ricaviamo invece:

^v₁2/_v2² = ^m₂r₁/_m1r2 (3)

Combinando la (2) con la (3) si ottiene anche:

^v₁/_v2 = ^m₂/_m1

e per la proprietà transitiva delle uguaglianze:

^m₂/_m1 = ^r₁/_r2 (4)

La (4) esprime appunto che il centro di massa C è più vicino alla massa maggiore. Fissiamo ora la nostra attenzione su uno dei due corpi, per esempio quello di massa m₁; esso viene attratto dalla massa m₂ con la forza gravitazionale F_G:

F_G = G ^m₁m₂/_(r1+r2)²

Ma, perché la massa m₁ possa restare in orbita, tale forza dovrà bilanciare la relativa forza centrifuga F_C:

F_C = ^-m₁v₁2/_r1

Pertanto deve essere verificata l’equazione:

^m₁v₁2/_r1 = G ^m₁m₂/_(r1+r2)² (5)

Ricordando che v₁ = (2π/T) r₁ la (5), dopo qualche passaggio algebrico e semplificazione, assume la forma:

r₁(r₁+r₂)²/T² = Gm₂/4π² (6)

Dopo aver posto: R = r₁ + r₂, cerchiamo ora di modificare la (6) in modo che tutte le distanze siano espresse in funzione di R. Possiamo scrivere:

R = r₁ (1 + ^r₂/_r1)