Il missile terra aria

Il missile terra-aria Il missile terra-aria

Un missile terra-aria che parte dal suolo deve colpire un bersaglio che si trova a distanza x (minore della sua gittata massima G) dal punto di lancio e ad altezza y rispetto al terreno. Qual è il valore massimo di y perché il bersaglio sia raggiungibile dal missile?

Nota: Si trascuri nel problema la resistenza dell'aria.

Come è noto dalla teoria, l’equazione cartesiana della traiettoria del missile in funzione dell’angolo θ di lancio è:

y = (1 + tg² θ)_2G • x² + (tg θ) • x (1)

L’origine del piano xOy è fissata nel punto di lancio e G è la gittata massima per un bersaglio che si trova a livello del suolo. Infatti, come è noto, la gittata x_G è espressa da:

x_G = _v0²sen2θg (2)

Essendo v₀ la velocità iniziale del missile e g l’accelerazione di gravità. Il suo massimo G si ottiene per θ = π/4:

G = v₀² g (3)

Indicato ora con B(x,y) il bersaglio situato alla quota y e ricordando che, per ipotesi, deve essere 0 < x < G, posto x = kG (con 0 < k < 1), la (1) può scriversi:

y = -k²G2(1 + tg²θ) + kG·tgθ

in quanto che le coordinate di B devono verificare la (1). Si tratta ora di determinare il massimo della funzione:

y(θ) = kG[ -k(1 + tg²θ) + 2 tgθ] (4)

A questo scopo, per non dover utilizzare il calcolo differenziale, basta porre tgθ = z e si ottiene:

_kG ² y(z) = —— [-k(1+z²)+2z]

y(z) è l'equazione di una parabola ad asse verticale del tipo y = az² + bz + c, con la concavità verso il basso (infatti è a < 0) e pertanto il suo punto di massimo è nel vertice. Ricordando, dalla geometria analitica, che z(vertice) = - b/(2a) ordiniamo l’equazione (5):

y = -(_k²G ²)(z² + (kG)z-(_k²G ²))

e troveremo:

z (vertice) = 1/k e quindi: (tgθ)_MAX = 1/k cioè θ_MAX = arctg(1/k)