Il combustibile miscela di kerosene

Il combustibile miscela di kerosene

Conservazione della quantità di moto

Il combustibile miscela di kerosene

Conservazione della quantità di moto

Il combustibile comunemente usato per i razzi è una miscela di kerosene e di ossigeno liquido, in grado di produrre una velocità di scarico di 2400 m/sec. Trascurando la gravità e l'uso del serbatoio delle pompe, ecc., calcolare quale massa di combustibile è necessaria per ogni Kg di peso trasportato per far raggiungere al razzo, partendo da fermo, una velocità di 12 Km/sec (la velocità di fuga della terra è 11 Km/sec).

Nella sonda Mariner iniziata verso Marte il peso iniziale era di 100.000 Kg, ed il peso trasportato di circa 250 Kg, con un rapporto (combustibile - peso trasportato) di 400 ad 1. In queste condizioni facendo partire un razzo da fermo, quale velocità si può raggiungere?

La velocità finale effettiva del razzo era di circa 24 Km/sec, molto maggiore del valore trovato in b). Spiegare questo fatto considerando i seguenti fattori: si deve tener conto delle forze esterne e dei pesi trascurati in (a); il razzo è costituito da più stadi; la velocità iniziale del razzo è quella della superficie della terra, in un sistema di riferimento solidale col sole.

a) Per un sistema a massa variabile vale la relazione: M ^dv/_dt = F_est + F_reaz. Considerate trascurabili le forze esterne, lungo un asse avente la direzione del moto del razzo si ha: M ^dv/_dt = F_reaz dove F_reaz è la spinta data da -v_rel ^dM/_dt.

Si ha dunque M ^dv/_dt = -v_rel ^dM/_dt. Questa relazione si integra, tenendo conto che quando il razzo parte, cioè per v = 0 esso ha massa M_o e quando il razzo ha raggiunto velocità v esso ha massa M | ^v∫₀ dv = -v_rel | ^M∫_Mo ^dM/_M dove si noti v_rel è una costante che indica la velocità di espulsione dei gas combusti.

Si ha v = -v_rel ln ^M_o/_M. Sia dunque M_o la massa del razzo con i serbatoi pieni di combustibile e supponiamo che il razzo quando ha raggiunto la velocità v di fuga abbia esaurito tutto il combustibile ed M sia quindi la massa del solo razzo svuotato; avremo ^M_o/_M = e^v/_vrel cioè: M_o = e¹²/₄ = 150 per cui se C è la massa del combustibile, si ha M_o = C + M e quindi: C + M = ^M_o/_M = 150 da cui: C = 149 cioè occorrono 149 Kg di combustibile per ogni Kg di peso utile trasportato se si vuol far raggiungere al razzo la velocità di 12 km/sec....