Il chiodo in sospensione

Il chiodo in sospensione

La conservazione dell’energia

Il chiodo in sospensione

La conservazione dell’energia

Il chiodo in figura è posto a una distanza d sotto al punto di sospensione. Dimostrare che d deve essere almeno 0,6ℓ se la palla deve oscillare compiendo un giro completo attorno a un cerchio centrato nel piano.

La velocità nel punto più basso della traiettoria è: v₀ = √2gℓ e ha direzione tangente alla traiettoria. Durante la rotazione intorno al chiodo C le forze agenti sul sistema sono la forza peso mg e la tensione T della fune. La componente radiale di mg è un’accelerazione centripeta v²/r, dove r è il raggio della circonferenza descritta. Si ha T - mg cosθ = mv²/r. Ma v è legata all’angolo θ, cioè non è uniforme, anche se è sempre diretta tangenzialmente alla traiettoria.

Durante tutto il moto agiscono solo la forza peso e la tensione, per cui l’energia totale del sistema resta costante. Se K_o e U_o sono l’energia cinetica e potenziale nel punto più basso e K e U l’energia cinetica e potenziale in un punto generico, individuato dall’angolo γ della corda con la verticale, si ha: K_o+U_o=K+U.

Ora K_o=¹/₂mv_o² in quanto v_o è la velocità nel punto più basso. Per V qualunque K=¹/₂mv². Mentre la sfera descrive la sua traiettoria, la tensione F è sempre normale a questa, per cui non compie lavoro. Soltanto la forza gravitazionale lavora sul blocco e tale forza è conservativa.

Se prendiamo un riferimento con l’origine coincidente con il chiodo e l’asse y diretto verso il basso, in questo la forza peso è diretta come l’asse y, per cui è F=mg. Si ha allora U(y)=-∫_o^y F(y)dy+U(0). Posto U(0)=0, poiché noi ci interessiamo alle differenze di energia potenziale e non all’energia potenziale assoluta nelle varie posizioni, si ha U(y)= -∫_o^y mg dy= -mgy dove y è legato a V dalla relazione y=r cos V, per cui U(y)= -mgr cos V.