Il cerchio di Mohr per studenti universitari e non solo

Il cerchio di Mohr

Il cerchio di Mohr

Ing. Nicola Genuin

DeltaScience Tutoring

Abstract

Il cerchio di Mohr è uno strumento utilissimo nello studio dello stato tensionale della materia. Troppe volte però se ne fa un ampio utilizzo nei corsi universitari senza accertarsi che lo studente lo conosca e lo sappia utilizzare in modo appropriato. Dalle numerose segnalazioni di questo fatto e dall’esperienza personale dell’autore, si è voluto dunque realizzare questa breve dispensa che parte dalla descrizione generica degli stati tensionali, per poi focalizzarsi sugli stati di tensione piana, spesso studiati mediante l’utilizzo del cerchio di Mohr. Una consistente parte della dispensa tratta della costruzione e del corretto utilizzo del cerchio, nonché del significato fisico che si può evincere dalla rappresentazione grafica sul piano di Mohr. La terza parte infine fornisce un breve riassunto delle regole operative necessarie per sfruttare correttamente il cerchio di Mohr, a cui fanno seguito alcuni esercizi svolti passo passo, mettendo in luce tutti gli aspetti a cui è necessario prestare la massima attenzione. Nella parte conclusiva, prima della bibliografia si lasciano al lettore i rimandi ad argomenti correlati ed applicazioni pratiche, nonché interessanti link di riferimento per eventuali approfondimenti e per accedere direttamente ad alcune app e tools open source disponibili online per il calcolo degli stati tensionali con il cerchio di Mohr.

Keywords

Cerchio di Mohr, Tensione, Tensione piana, Geotecnica, Scienza delle costruzioni, Criteri di rottura.

Prima versione: 11 gennaio 2020

Ultima modifica: 7 febbraio 2022 © Nicola Genuin 2021

Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 1 di 19

A Il cerchio di Mohr

Indice

1 Tensione 3

1.1 Definizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Tensore delle tensioni . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Stato di tensione piana . . . . . . . . . . . . 3

2 Il cerchio di Mohr 5

2.1 Costruzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Arbelo di Mohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Stati tensionali particolari . . . . . . . . . . . 7

3 Esercizi 10

4 Applicazioni e argomenti correlati 17

5 Risorse utili 18

© Nicola Genuin 2021

Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 2 di 19

A Il cerchio di Mohr

1 Tensione

1.1 Definizione

In fisica, la tensione meccanica è una forza esercitata su una unità di superficie, ed è formata da componenti normali e tangenziali a tale superficie. Preso un qualsiasi corpo di forma generica, si immagini di afferrarlo per le estremità e di applicare ad esse una forza uguale e contraria, come a voler allungare un elastico: allora, in una generica sezione di superficie ΔA interna al corpo, si saranno generate delle tensioni, quantificabili in rapporto all’intensità della forza applicata.

Immaginando che ΔF la coppia di forze applicate abbia direzione orizzontale, in qualsiasi generico punto P della superficie ΔA la tensione sarà rappresentata da due vettori di direzione parallela a quella della coppia di forze e intensità data dalla formula:

~t = lim ΔA→0 ~ΔF / ΔA (1)

In particolare, immaginando di tagliare fisicamente il corpo in corrispondenza della superficie ΔA, per preservare l’equilibrio del sistema il vettore tensione applicato alla parte sinistra del corpo nel punto P avrà verso da sinistra verso destra, vale a dire verso opposto rispetto alla forza ~ΔF applicata a quella parte di corpo, e viceversa.

Il vettore tensione viene sempre scomposto in tre componenti, di cui quella normale alla superficie ΔA si indica con la lettera sigma σ e prende il nome di sforzo; le altre due componenti, al contrario, sono perpendicolari fra di loro e anche nei confronti dello sforzo, quindi giacciono sul piano della superficie ΔA, vengono indicate con la lettera tau τ e sono dette tensioni tangenziali. Il primo tipo di tensione è caratteristico degli sforzi di tensione, come nel caso dell’esempio sopra proposto, e di compressione pura, mentre il secondo è tipico dello sforzo di taglio.

È importante notare che il tipo di tensione che si genera all’interno di un corpo può dipendere certamente da come vi vengono applicate le forze ~ΔF, ma anche dall’orientamento della superficie ΔA. Infatti due forze uguali e contrarie disposte allineate sullo stesso asse daranno origine ad uno sforzo di pura trazione o compressione su di una superficie ΔA perpendicolare al loro asse, ma genereranno anche tensioni tangenziali su una ipotetica superficie inclinata rispetto all’asse, sulla quale la reazione interna allineata con la forza ~ΔF dovrà essere scomposta in componente normale e tangenziale.

1.2 Tensore delle tensioni

Si immagini ora di prelevare sempre dallo stesso corpo, soggetto alla coppia di forze ~ΔF, un volumetto cubico ΔV: gli spigoli del volumetto individuano tre direzioni principali nello spazio, che saranno assunte come sistema di riferimento secondo la terna di versori (î, ĵ, k̂), identificabile anche con una generica base di vettori ortonormali {1̄1, 1̄2, 1̄3}. Allo stesso modo, le sei superfici del volumetto cubico si dispongono secondo tre famiglie di piani paralleli, ciascuna delle quali costituisce la giacitura di due versori del sistema di riferimento, mentre il terzo vi è normale. In questo modo si possono individuare tre terne di tensioni, ~t(1), ~t(2) e ~t(3):

• Sul piano di normale î e giacitura 2-3, con uno sforzo normale σ11 e due tensioni tangenziali τ12 e τ13;
• Sul piano di normale ĵ e giacitura 1-3, con uno sforzo normale σ22 e due tensioni tangenziali τ21 e τ23;
• Sul piano di normale k̂ e giacitura 1-2, con uno sforzo normale σ33 e due tensioni tangenziali τ31 e τ32.

A questo punto lo stato tensionale in un punto, considerando infinitesimo il volumetto ΔV → 0, è definito dalla conoscenza di tutti i vettori tensione ~t(n) associati ai piani che passano per il punto; quindi si avrà:

~t(1) = σ11 î + τ12 ĵ + τ13 k̂

~t(2) = τ21 î + σ22 ĵ + τ23 k̂

~t(3) = τ31 î + τ32 ĵ + σ33 k̂

L’insieme delle nove componenti scalari {σ11}, σ12, . . . , σ33 costituiscono le componenti della matrice di rappresentazione, nella base suddetta {1̄1, 1̄2, 1̄3}, di un tensore del secondo ordine, altrimenti indicato con il simbolo σ, detto tensore delle tensioni o degli sforzi di Cauchy:

T = [~t(1) ~t(2) ~t(3)] = [[σ11 τ12 τ13], [τ21 σ22 τ23], [τ31 τ32 σ33]] (2)

Il Teorema di Cauchy afferma che la conoscenza dello stato tensionale su tre distinte giaciture tra loro ortogonali, cioè le nove componenti sopra descritte, è sufficiente per determinare le tensioni su ogni altra giacitura passante per il punto considerato. Il rispetto della seconda legge di Eulero porta a richiedere che il tensore delle tensioni di Cauchy sia simmetrico, ovvero T = T^T, e quindi τij = τji; ciò significa dunque che il tensore è rappresentato da sole sei componenti scalari indipendenti:

σ11, σ22, σ33, τ12 = τ21, τ13 = τ31, τ23 = τ32.

1.3 Stato di tensione piana

Quando una delle tensioni principali σ11, σ22 o σ33 ha valore nullo, sono nulle tutte le componenti di tensione nel relativo piano principale: ad esempio, se σ33 = 0, allora anche τ31 = τ32 = 0 e, per la suddetta condizione di simmetria del tensore, allo stesso modo τ13 = τ23 = 0. In questo modo, e ricordando che anche τ12 = τ21, il tensore assume la forma:

T = [[σ11 τ12 0], [τ12 σ22 0], [0 0 0]] (3)

e si parla di stato di tensione piana in quanto si hanno quattro componenti di tensione, o meglio tre, data l’equivalenza fra le due tangenziali, disposte lungo due sole direzioni principali, in questo caso î e ĵ, o analogamente 1̄1 e 1̄2, e quindi contenute in un piano, non più nello spazio.

Si consideri ora un fascio di piani di asse k̂, o 1̄3 che dir si voglia, che sarà descritto da un versore n̂ appartenente al piano îĵ e ottenuto mediante una rotazione rigida antioraria di angolo φ a partire dal versore î:

n̂ = cos φ î + sin φ ĵ = [cos φ, sin φ, 0] (4)

Dunque la tensione sul generico piano di normale n̂ è anch’essa data da un vettore appartenente al piano îĵ, e si otterrà dalla moltiplicazione della 3 per la 4:

T · n̂ = [σ11 cos φ + τ12 sin φ, τ12 cos φ + σ22 sin φ, 0] (5)

Questo vettore è decomponibile ovviamente in una componente σn normale al piano lungo la direzione del versore n̂, moltiplicando ancora la 5 per la matrice trasposta n̂^T = [cos φ sin φ] del versore n̂, ed una componente tangenziale τm, o τnm, lungo la direzione:

m̂ = −sin φ î + cos φ ĵ = [−sin φ, cos φ, 0] (6)

appartenente sempre al piano îĵ, ma ruotata di un angolo π/2 orario rispetto alla direzione n̂, che si otterrà moltiplicando la 5 per la matrice trasposta m̂^T = [sin φ −cos φ] del versore m̂. Si ha dunque:

σn = (T · n̂) · n̂ = σ11 cos² φ + σ22 sin² φ + 2τ12 sin φ cos φ

τm = (T · n̂) · m̂ = (σ22 − σ11) sin φ cos φ − τ12(sin² φ − cos² φ)

Queste due formule possono essere semplificate utilizzando le trasformazioni trigonometriche, ottenendo in definitiva:

σn = (σ11 + σ22)/2 + (σ11 − σ22)/2 cos 2φ + τ12 sin 2φ

τm = −(σ11 − σ22)/2 sin 2φ + τ12 cos 2φ

Al variare dell’angolo φ ∈ [0, π], i valori delle due componenti (σm, τm) compongono un vettore che descrive un cerchio in un piano (σ, τ), detto cerchio di Mohr, di centro:

C = ((σ11 + σ22)/2, 0) (7)

e raggio:

R = √[((σ11 − σ22)/2)² + τ12²] (8)

Figura 1. Scomposizione delle componenti della tensione interna e sezione piana elementare. [11]

© Nicola Genuin 2021

Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 3 di 19

A Il cerchio di Mohr

1 Vettori di modulo unitario che indicano una direzione.

2 Alcuni autori utilizzano una notazione diversa con la terna cartesiana (x̂, ŷ, ẑ), impiegando anche i pedici x y z al posto dei 1 2 3 che compariranno nel prosieguo della trattazione.

3 In letteratura è facile trovare anche le tensioni tangenziali indicate con la lettera σ, quindi le terne saranno del tipo (σ11, σ12, σ13).

4 Conservazione del momento della quantità di moto.

© Nicola Genuin 2021

Wellcome Open Research Overleaf template for LTEX Pagina 4 di 19

A Il cerchio di Mohr

2 Il cerchio di Mohr

2.1 Costruzione

Supponiamo di avere sempre il nostro volumetto cubico di materiale isotropo, e di prelevarne ora una fettina sufficientemente sottile da poterla considerare piana, in modo da analizzare al suo interno lo stato di tensione, appunto, piano. Si noti che il termine tensione piana non deriva propriamente dall’abitudine operativa di rappresentare l’elementino fondamentale in due sole dimensioni, quanto piuttosto dal fatto che, come detto in precedenza, si considera una fascio di piani il cui asse coincide con una delle direzioni principali, 3, posto σ33 = 0, analizzando le tensioni che agiscono sui piani del fascio in direzioni sempre scomponibili in componente normale e tangenziale al piano del fascio considerato nel sistema di riferimento del piano 1-2; dunque si rappresenta l’elementino fondamentale come un quadrato piano nello spazio 1-2 e di normale 3, ma si analizzano le tensioni sui piani che si sviluppano, in termini molto pratici, in profondità nel foglio e che ruotano sull’asse dato dalla normale al foglio stesso.

Una rappresentazione grafica di più facile comprensione è fornita dalla figura 2, dove la superficie del volumetto cubico normalmente utilizzata nella rappresentazione dello stato tensionale piano, in figura 1, è colorata in verde. Rispetto al sistema di riferimento nello spazio che si utilizza, il quadratino piano sarà disposto in modo tale da avere la normale parallela all’asse determinato dal versore 1̄3 o k̂, e si troverà quindi parallelo al piano 1-2, o îĵ, o ancor meglio contenuto in esso. Il tensore delle tensioni T dell’equazione 3 può essere riscritto in modo più semplice come:

T2D = [[σ11 τ12], [τ12 σ22]] (9)

Sul quadratino piano in esame, si troveranno quattro coppie di tensioni distribuite sui quattro lati, secondo versi che varieranno in funzione del tipo di sollecitazione. Si prenda il caso in cui:

• Sui due lati disposti in direzione 1, orizzontale in figura 1, agiscono due tensioni normali, sforzi, σ22 di verso discorde e modulo equivalente, e due tensioni tangenziali τ21 orientate in modo da far ruotare il quadratino in senso orario;
• Sui due lati disposti in direzione 2, verticale in figura 1, agiscono due tensioni normali, sforzi, σ11 di verso discorde e modulo equivalente, e due tensioni tangenziali τ12 orientate in modo da far ruotare il quadratino in senso antiorario.

Il sistema appena descritto è in equilibrio, in quanto le coppie di sforzi si annullano da sole impedendo la traslazione nel piano, mentre le due coppie di tensioni, essendo sempre τ12 = τ21 per condizione di simmetria del tensore, si compensano vicendevolmente rendendo la rotazione nulla. A questo punto, la condizione di equilibrio si traduce nell’instaurarsi di tensioni interne al quadratino.

Il cerchio di Mohr viene tracciato su un piano in cui si rappresentano gli sforzi σ sull’asse delle ascisse e le tensioni tangenziali τ sull’asse delle ordinate, in breve il piano σ − τ. Definendo σ̄ la media fra le tensioni principali σ11 e σ22:

σ̄ = (σ11 + σ22)/2 (10)

il centro del cerchio di Mohr già espresso nell’equazione 7 diventerà semplicemente:

C = (σ̄, 0) (11)

e si troverà sull’asse delle ascisse esattamente nel punto medio fra i due punti corrispondenti agli sforzi massimi sulle direzioni principali, (σ11, 0) e (σ22, 0). Ne consegue che, in termini operativi, la differenza fra questi due punti rappresenterà il diametro del cerchio, e quindi il raggio sarà pari a (σ11 − σ22)/2; non deve trarre in inganno la presenza, nell’equazione 8, anche del termine τ12, trattandosi in quel caso di una trattazione in termini matematici che esprime il raggio del cerchio in funzione della formula di una circonferenza nel piano del tipo (x − a)² + (y − b)² = 0, in particolare (σn − σ11)(σn − σ22) + τm² = 0. Inoltre, il valore del raggio coincide anche con quello della massima tensione tangenziale nel punto τmax, che agisce nel piano a 45° rispetto a 1̄1, come mostrato in figura 2 per il caso di tensione monoassiale o trazione pura, con σ11 = σ e σ22 = 0.

Figura 2. Posizione delle coppie σ e τ sul cerchio di Mohr al variare della giacitura nel caso di tensione monoassiale. [16]

Per tracciare il cerchio di Mohr però non è sempre necessario conoscere tensioni e direzioni principali, anzi il caso tipico è quello nel quale si conosce lo stato tensionale su due piani non principali disposti a 90°, purché la direzione del fascio a cui i due piani appartengono sia principale. Quindi, considerando ancora una volta il quadratino elementare verde, sarà sufficiente conoscere le tensioni σ e τ ad esso applicate qualsiasi sia l’angolo φ di cui questo risulta ruotato rispetto al sistema di riferimento principale, che ora è definito dagli assi del piano σ − τ. In particolare, se le normali dai due piani formano un angolo di 90° i punti rappresentativi σn e τm risultano diametralmente opposti, il che apre una seconda strada per la costruzione del cerchio: esisteranno infatti due punti A e B sulla circonferenza rappresentativi dello stato tensionale rela-

Wellcome Op