Idraulica 1 - esercizio sul Teorema di Buckingham

Soluzione esercizio 1

Consideriamo un corpo immerso trascinato in acqua o in un fluido sottoposto ad una forza F con velocità U molto lontano dal pelo libero. Supponiamo che la forza di trascinamento dipenda da ρ, U, D, μ, con D dimensioni caratteristiche del corpo e ρ e μ rispettivamente densità e viscosità dinamica del fluido:

(1): F = φ(ρ, U, D, μ)

• Si dimostri che le grandezze densità ρ, velocità U e dimensione del corpo D sono dimensionalmente indipendenti.
• Si ricavi la relazione adimensionale cui si perviene applicando il teorema di Buckingham alla relazione dimensionale (1).

Soluzione

U = LT^-1; ρ = ML^-3; D = L; μ = ML^-1T^-1; F = MLT^-2

ρ^α U^β D^γ = M⁰L⁰T⁰

[ML^-3]^α [LT^-1]^β [L]^γ = M⁰L⁰T⁰

M^αL^{-3α + β + γ}T^-β = M⁰L⁰T⁰

Abbiamo dimostrato che ρ, U, D sono dimensionalmente indipendenti.

F = ρ^α U^β D^γ π

M¹ L¹ T^-2 = M^αL^{-3α + β + γ}T^-β

F = ρU²D² π

μ = ρ^α U^β D^γ π

M¹L^-1T^-1 = M^αL^{-3α + β + γ}T^-β

μ = ρUD π