Getti d'acqua da un serbatoio

Getti d'acqua da un serbatoio

Meccanica dei fluidi

Getti d’acqua da un serbatoio

Meccanica dei fluidi

Sulla parete di un grande serbatoio cilindrico, riempito d’acqua fino ad un’altezza h₀, viene praticato un piccolo foro alla profondità h rispetto alla superficie libera dell’acqua (Figura 10.7). Dal foro esce uno zampillo che andrà a cadere al suolo ad una distanza x_G dalla base del serbatoio; chiameremo x_G gittata dello zampillo.

Dimostrare che esistono sempre due fori, praticati a profondità diverse, h₁ e h₂ = h₀ - h₁, ai quali corrisponde la medesima gittata x_G. Dimostrare altresì che, nell’unico caso in cui h₁ = h₂ = h₀/2, si ottiene la gittata massima x_GM = h₀.

Nota: Nell'analisi del moto dello zampillo si trascuri la resistenza dell’aria.

Per il così detto principio di Torricelli, la velocità v dello zampillo, uscente da un foro che si trova a distanza generica h dalla superficie libera dell'acqua, è espressa da:

v = √2 g h

Il vettore v è diretto parallelamente al suolo da sinistra verso destra (Figura 10.7). Lo zampillo d'acqua segue la legge del moto dei proiettili, già analizzata nel capitolo I, descrivendo una traiettoria parabolica.

Pertanto, fissato un sistema di riferimento cartesiano xOy con l'origine alla base del serbatoio, l'asse y orientato verso l'alto lungo la parete dello stesso e l'asse x orientato da sinistra a destra (Figura 10.7), se h₁ è una certa distanza tra il foro sulla parete e la superficie libera dell'acqua e v₁ la velocità dello zampillo, è possibile scrivere le seguenti equazioni parametriche del moto parabolico:

{ x = v₁ t
y = (h₀ – h₁) – (½) g t²

Eliminando il tempo t dalle due precedenti equazioni, deduciamo quella della traiettoria:

y = (h₀ – h₁) - g/(2 v₁²) x² (1)

Ponendo nella (1): y = 0; x = xG e, per la legge di Torricelli, v₁ = √ 2 g h₁, ricaviamo il quadrato della gittata dello zampillo:

x²_G = 4 h₁ (h₀ – h₁) (2)

Analogamente, se la distanza del foro dalla superficie libera fosse h₂, troveremmo in modo del tutto simile:

x²_G = 4 h₂ (h₀ – h₂) (3)

Se imponiamo la condizione che sia xG = xG', combinando la (2) con la (3), otteniamo la relazione:

4 h₁ (h₀ – h₁) = 4 h₂ (h₀ – h₂) (4)