Esame di geometria e algebra (Febbraio 2006)
Cognome e Nome…………………………. Matricola e anno di iscr………………. Firma……………….
1. Sottospazi
Siano U e W i sottospazi di R4 così definiti:
U=L((1,0,1,0),(0,1,1,0),(2,–1,1,0)),
W=L((0,1,1,1),(0,0,1,–1),(2,0,–1,1)).
a) Determinare una rappresentazione cartesiana del sottospazio U.
RISPOSTA: Una rappresentazione cartesiana di U è, ad esempio, x+y−z=0, t=0.
b) Determinare la dimensione e una base del sottospazio U∩W.
RISPOSTA: dim(U∩W)=1, una base di U∩W è, ad esempio, [(1,1,2,0)].
c) Stabilire se risulta R4=U⊕W.
RISPOSTA: NO.
2. Endomorfismo
Si consideri l’endomorfismo Fh di R3, dipendente dal parametro reale h, dato da:
Fh(x,y,z)=(y,hx+z,y).
a) Determinare i valori di h tali che il vettore (1,1,1) sia un autovettore di Fh.
RISPOSTA: h=0.
b) Determinare i valori di h∈R tali che Fh sia diagonalizzabile.
RISPOSTA: h>–1.
3. Piani e rette nello spazio
Fissato un riferimento cartesiano ad assi monometrico ortogonale nello spazio, si considerino i seguenti piani:
α: x–y–z–1=0
β: 2x+y–1=0
γ: x+y–2z–2=0
a) Rappresentare la retta passante per l’origine e parallela sia ad α che a β.
RISPOSTA: x+2y+z=0, x+y−2z=0.
b) Determinare l’equazione del piano passante per l’origine e ortogonale sia ad α che a β.
RISPOSTA: x–2y+3z=0.
c) Rappresentare la retta passante per l’origine, complanare con la retta r=α∩β e parallela al piano γ.
RISPOSTA: x+2y+z=0, x+y−2z=0.
d) Stabilire se i piani α, β e γ appartengono a un fascio.
RISPOSTA: NO.
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