Formulario Analisi 2

Integrazione per fili

f(x,y,z): A → ℝ A ⊂ ℝ³

∬_A f(x,y,z) dx dy dz = ∬_B dx dy ⌠_φ1(x,y)^φ₂(x,y) f(x,y,z) dz = ∬_B dx dy (φ₂(x,y) - φ₁(x,y))

Integrazione per strati

∬_A f(x,y,z) dx dy dz = ⌠_a^b dz ∬_D(z) f(x,y,z) dx dy dz

Prima integro sullo strato di quota z, poi integro in tutti gli strati.

Cambio di variabili

x = Φ₁(u,v) y = Φ₂(u,v) → J = ⌊ (Φ₁)_u (Φ₁)_v⌋ |J| = ∂(x,y)/∂(u,v)

∬_A g(x,y) dx dy = ∬_A' g(Φ₁(u,v), Φ₂(u,v)) |J| du dv (modulo determinante)

Coordinate polari

x = ρ cos θ y = ρ sin θ |J| = ρ

Coordinate sferiche

x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ |J| = ρ² sin θ

Integrazione per fili

f(x,y,z) : A → ℝ A ⊂ ℝ³

A è tutta la "parte interna" di tale cilindroide che va da φ₁ a φ₂.

∭_A f(x,y,z) dx dy dz = ∫_B dx dy ∫_φ₁(x,y)^φ₂(x,y) f(x,y,z) dz = ∬_B dx dy (φ₂(x,y) − φ₁(x,y))

∮_j=1^j=1

Integrazione per strati

∭_A f(x,y,z) dx dy dz = ∫_a^b dz ∬_D(z) f(x,y,z) dx dy dz

Prima integro sullo strato di quota z, poi integro in tutti gli strati.

Cambio di variabili

x = Φ₁(u,v) y = Φ₂(u,v)

J = [ (Φ₁)_u (Φ₁)_v ][ (Φ₂)_u (Φ₂)_v ]

|J| = d(x,y)/d(u,v)

∬_A g(x,y) dx dy = ∬_A' g(Φ₁(u,v), Φ₂(u,v)) |J| du dv modulo determinante

Coordinate polari

x = ρ cos θ y = ρ sin θ |J| = ρ

Coordinate sferiche

x = ρ sin θ cos φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos θ |J| = ρ² sin θ

Coordinate cilindriche

x = ρ cos(θ) y = ρ sin(θ) z = u |J| = ρ

Volumi di rotazione

Ruotiamo A intorno a z di 360°.

|V_z| = ∫∫_A 2π y dy dz

Ruotiamo intorno a y di 360°.

|V_y| = ∫∫_A 2π z dy dz

L'insieme A non deve intersecare l'asse intorno a cui ruota.

Superfici

(∂U ∪ ∂D) ⊂ ℝ² D ⊂ ℝ_u x ℝ_π

ψ(u,₁, π) = (α(u,₁, π), β(u,₁, π), γ(u,₁, π))

J = ∂u∂π β_uβ_π γ_uγ_π con du = ∂x/∂u

L'area della superficie è ∫∫_D du dπ √((∂u/∂π)² + (∂u/∂u)² + β_u β_π)²

Esempio sfera

I₁ = ∂u∂π β_uβ_π = ∂x∂y ∂x∂y

Inoltre se una superficie è esprimibile in (x, y, f(x, y)), ∫∫_D dx dy √((1 + (∂/∂x (f(x, y)))² + (∂/∂y (f(x, y)))²)

Integrale curvilineo di prima specie

∫_a^b g(γ₁(t), γ₂(t)) √((γ'₁)²+(γ'₂)²) dt = ∫_γ g ds

Baricentro di una curva

Indicando con L(γ) la lunghezza di una curva, che si trova con l'integrale curvilineo di prima specie:

B₁ = ¹/_L(γ) ∫_a^b γ₁(t) √((γ'₁)²+(γ'₂)²) dt

B₂ = ¹/_L(γ) ∫_a^b γ₂(t) √((γ'₁)²+(γ'₂)²) dt

γ(t); a ≤ t ≤ b

γ(-t); -b ≤ t ≤ -a

Forme differenziali, o integrale curvilineo di seconda specie

F₁ dx + F₂ dy = w → ∫_γ w = ∫_t0^t₁ [F₁(x(t))(x'(t)dt) + F₂(t)(y'(t)dt)]

Se una forma differenziale è esatta, il valore dell'integrale dipende solo dal punto iniziale e finale.

∫_γ w = U(γ₁) - U(γ₀) U(x, y): U_x=a U_y=b

w = a(x, y) dx + b(x, y) dy

Verifica per l'esattezza

U(x, y) = ∫U_x dx = ∫(a(x, y) dx + c(y)) → U_y = d/dy ( ∫(a(x, y) dx + c(y)) ) = d/dy ∫a(x, y) dx + c'(y) = b(x, y)

U deve avere lo stesso dominio della forma w.

Se in c'(y)/c'(x) appare x/y la forma non è esatta.

w è esatta ⇔ ∫_γ w = 0 ∀ γ regolare a tratti e chiusa

Se w è esatta, allora è necessariamente chiusa.

Una forma differenziale è chiusa se le derivate parziali coincidono, ^∂/_∂y a(x,y) = ^∂/_∂x b(x,y)

Un insieme D è convesso se per ogni coppia di punti (x₀,x₁) entrambi appartenenti a D esiste una curva continua che li connette e che giace in D.

Sia D un dominio e S un sottoinsieme di D. S è semplicemente connesso se ogni curva chiusa in S può essere ridotta a un punto senza mai uscire da D. In pratica non ci devono essere “buchi” nel dominio della curva.

Se ω è chiusa in un insieme semplicemente connesso (e non nel dominio), ω è esatta.

Lemma di Gauss-Green

Sia ω forma differenziale. Sia ∂D una curva chiusa percorsa in senso antiorario, ovvero con l'interno della curva che sta a sinistra.

∮_∂D ω = ∬_S (b_x - a_y) dx dy = 0

−0 ∮_∂ ω + ∫_∂ ω = 0 → ∮_∂ ω = −∫_∂ ω = ∫_∂ ω

Esempio

ω = −y dx + x dy/(x² + y²)

∮_∂ ω = ∫_∂ ω = … = 2π

Area insieme D: |D| = 1/2 ∣∫_∂D+ x dy - y dx

Integrali reali tramite funzioni olomorfe

• ∫_-∞^{∞ P(x)}⁄_Q(x) dx
• γ₁(t) = t   -R ≤ t ≤ R
• γ₂(t) = Re^it   0 ≤ t ≤ π
• ∫_γR f(z) dz = ∫_-R^R f(t) dt + ∫_γ2 f(z) dz
• ∫_-∞^∞ f(t) dt + 0 = 2πi ∑ f(z_i)
• ∫₀^{π P(cos θ, sin θ)}⁄_{Q(cos θ, sin θ)} dθ   → z = e^iθ
• cos θ = ¹⁄₂ (z + ¹⁄_z)   sin θ = ¹⁄_2i (z - ¹⁄_z)
• dz = i e^iθ dθ   → dθ = ^dz⁄_iz
• I = ∮_C ^{P(1⁄₂ (z + 1⁄_z), 1⁄_2i (z - 1⁄_z))}⁄_{Q(¹⁄2 (z + ¹⁄z), ¹⁄2i (z - ¹⁄z))} ^dz⁄_iz = 2πi ∑ Res f(z)
• ∫_-∞^{∞ P(x)}⁄_Q(x) cos kx dx, ∫_-∞^{∞ P(x)}⁄_Q(x) sin kx dx
• Se il grado di Q è maggiore del grado di P più uno, si procede come in 1). Altrimenti!
• ∫_γ f(z) dz = ∫_R ^P(t)⁄_Q(t) Re (e^-ikt) dt
• Oppure ∫_-R^{R P(t)}⁄_Q(t) Im (e^-ikt) dt
• ∫_γR f(z) dz = 0   ← lemma di Jordan
• ∫_-∞^{∞ P(t)}⁄_Q(t) e^-ikt dt = 2πi ∑ Res ^P(z)⁄_Q(z) e^ikz

Residuo del punto all'infinito

(Σ Res (f(z_i))) + Res (f(∞)) = 0

Res (f(∞)) = Res ( - ¹/_z² f( ¹/_z), 0)

4)

∫₀^∞ x^P/q P(x)/Q(x) dx grado Q > grado P + ^P/_q + 1

γ₁(t) = t e^{i Θ}

γ₂(t) = R e^{i t}

γ₃(t) = -t e^{i (2π-Θ)}

γ₄(t) = ε e^{-i t}

∫γ₂ f(z) dz = ∫γ₄ f(z) dz = 0

Si parametrizza l'integrale lungo γ₁ e γ₃ e per ∫γ₁ f(z) dz + ∫γ₃ f(z) dz = 2 π i Res (f(z))

Residuo per un polo d'ordine m: lim_{z→z0} ¹/_(m-1)! d^m-1/dz^m-1 (z-z₀)^m f(z)

5)

∫₀^∞ x/(x³+a³) dx a>0, comincio come il 4).

h(z) = Ln (z) z/(z³+a³), ∫γ₂ h(z) dz = ∫γ₄ h(z) dz = 0

Parametrizzate lungo γ₁ e γ₃ e per ε→0, Θ→0,

∫₀^∞ ln(x) x/(x³+a³) dx - ∫₀^∞ (ln(x) + i 2πi) x dx/(x³+a³) = 2 π i Σ Res (h(z))

Da cui ∫₀^+∞ ln(x) x dx - ∫₀^+∞ ln(x) x dx - 2πi ∫₀^+∞ xx³+a³ x³+a³ x³+a³

-2πi ∫₀^+∞ x = 2πi ∗ ∑ Res( h(z)) = 2πi ∑ Res ( ln(\overset{!}{2}) z )

x³+a³ z³+a³ z³ = -a³ -→ z = e^{(iπ/₃+2kπ/3)}

6) V.P.

∫_-∞^+∞ g(x) dx con Q(x) avente radici reali.

Q(x)

γ₁(t) = t -R ≤ t ≤ x₄ -

γ₂(t) = x₄ - iε

γ₂(t) = t -π ≤ t ≤ 0

γ₃(t) = -

γ₄(t) = ε e^-it -π ≤ t ≤ 0

γ₅(t) = t ε ≤ t ≤ R

γ₆(t) = Re^it 0 ≤ t ≤ π

lim ∫_γ6 f(z) dz = ∫_-∞^+∞ f(t) dt R→+∞

lim ∫_γ5 f(z) dz = 0 R→+∞

lim lim ∫_γ4 f(z) dz = 0 — da calcolare ε→0 →0

∑ ∫_γi f(z) dz = ∫_-∞^+∞ f(z) dz + ∫_γ2 f(z) dz + ∫_γ4 f(z) dz = 2πi ∑ Res (f(z_i)) interni al cammino

Se g(x) e^{-sin(x)⁄cos(x)}, posso calcolare come I ∫^eiz dz = ∫^∞ e^iz dz Q(z) e poi trovarne la parte Im/Re.

Trasformata di Laplace

{f(t)} = F(p) = ∫₀^∞ e^-pt f(t) dt

E deve accadere che se Re(p) → ∞, allora F(t) → 0.

• {e^at} = ¹/_p-a
• {t^m} = ^m!/_pⁿ⁺¹
• {e^at f(t)} = F(p-a)
• {sin(at)} = ^a/_p²+a²
• {cos(at)} = ^p/_p²+a²
• {sinh(at)} = ^a/_p²-a²
• {cosh(at)} = ^p/_p²-a²
• {1} = ¹/_p
• {f(at)} = ¹/_a F( ^s/_a)

H(t) = 1 per t>0

H(t) = 0 per t