Fisica Teorema di Gauss - problemi svolti

Fisica - Forze elettriche e campi elettrici

Problemi svolti

Problema 1: Una sferetta carica appesa a un pendolo

Una sferetta carica di massa m = 1,50 g è appesa a un pendolo di lunghezza 35 cm. Collocando una sfera identica nella posizione di equilibrio del pendolo, si ottiene una configurazione di equilibrio con un angolo di 120°.

• Determina la carica presente su S.

Svolgimento

Per risalire al valore della carica dobbiamo determinare l'intensità della forza di Coulomb. Imponiamo la condizione di equilibrio tra le forze agenti sulla sferetta S. Fissiamo sempre un sistema cartesiano come in figura e indichiamo con T il modulo della tensione, P il modulo della forza peso, il modulo della forza di Coulomb e d = SS' la distanza tra le due sferette all'equilibrio.

Osserviamo che il triangolo SPS' è isoscele con angolo al vertice 120°. PS = PS' = i lati = 35 cm. Conosciamo gli angoli formati dalle forze con gli assi cartesiani che indichiamo in figura. La distanza d tra le due sfere vale √3 = 2 × ⋅ 30° = 2 × 0,35 ⋅ 2 = 0,35√3. La forza peso vale: −3 = 1,5 ⋅ 10 ⋅ 9,81 2 = 0,015.

Scomponiamo i vettori della tensione T e della forza di Coulomb, lungo le direzioni x e y ed imponiamo l'equilibrio:

• + = { = + 60° = sin 60°{ cos 30° = 60° √3 √3 + = { + = 2 2 → 2 2 √3 = √3 = 2 2{sostituendo nella prima: √3 √3 + = { 6 2 = √3 = √3 → = 0,026{ = √3 possiamo ricavare l'intensità della carica:

Nota 2 = ⋅ 0 22 =√ = 0=√ ⋅ 0 0,026= ⋅ 0,70√3√ 2 2 98,99 ⋅ 10 ()2 = 1,01.

Problema 2: Due oggetti carichi e una molla

Una molla orizzontale non compressa ha una lunghezza di 0,32 m e una costante elastica di 200 N/m. Due piccoli oggetti carichi aventi la stessa intensità sono attaccati alle due estremità della molla. A causa di queste cariche, la molla si allunga di 0,020 m rispetto alla sua lunghezza a riposo.

• Determina i possibili segni algebrici e l'intensità delle cariche.

Svolgimento

> 0 Le cariche elettriche hanno la stessa intensità e la molla subisce un allungamento. Questo significa che la forza elettrostatica è di tipo repulsivo, perciò le cariche sono positive entrambe oppure negative entrambe. I loro segni algebrici saranno uguali:

• | | | | ||= =1 2

All'equilibrio la forza elettrostatica eguaglia quella elastica:

• = 2 ⋅ = 0 2 da cui: 2√|| = ⋅ 0 dove: = + = 0,320 + 0,020 = 0,34 200(/) ⋅ 0,020 ⋅ 0,34)^2 −6√|| = = 7,2 ⋅ 10 9 2 2 2( )8,99 ⋅ 10 ⋅ /

Problema 3: Momento torcente su un'asta

Un'asta sottile e lunga 4,0 m giace lungo l'asse x, con il suo punto centrale posizionato sull'origine. Nel vuoto, una carica di 3c è fissata a una estremità dell'asta e una carica di −8,0 è fissata all'altra estremità. C'è un campo elettrico esterno costante di intensità 5,0 ⋅ 10 / perpendicolare all'asta. Trova l'intensità del momento torcente applicato all'asta, calcolato rispetto all'asse z.

Svolgimento

Il campo elettrico E è orientato nel verso positivo delle ordinate e l'asta è posizionata con il suo centro nell'origine del riferimento con le due cariche alle estremità. Sulle due cariche agiscono due forze che hanno la stessa direzione delle linee del campo elettrico. Sulla carica negativa la forza è diretta verso il basso, su quella positiva verso l'alto. Esse costituiscono una coppia.

Calcoliamo il momento:

• Il braccio di ciascuna forza, rispetto al centro è L/2.
• = |+| + |−| = 2 ⋅ ⋅ = = 0,16 ⋅ 2 2 2

Problema 4: Interazione forte nei nuclei atomici

I nuclei atomici sono composti da cariche positive, i protoni (in numero uguale agli elettroni per preservare la neutralità dell'atomo) e da un certo numero di neutroni che, come dice la parola, sono neutri. Poiché i neutroni non interagiscono elettricamente e poiché i protoni si respingono, è evidente che la stabilità dei nuclei è garantita da un'interazione diversa da quella di Coulomb: essa si chiama interazione forte.

• Stima quanto deve valere almeno l'interazione forte su ciascuno dei protoni per garantire la stabilità di un nucleo di He, costituito da due protoni e due neutroni. [≥ 230 ]

Svolgimento

L'interazione forte deve essere almeno uguale alla forza di repulsione di Coulomb per mantenere stabile il nucleo. Assumiamo il valore di 1 fm (f=femto) per la distanza tra i due protoni.

Ricordiamo l'equivalenza: −151 = 10. Calcoliamo il valore della forza:

2(+) = ⋅ 0 2 −19 2(1,60 ⋅ 10 )9 2 2 2( ) = 8,99 ⋅ 10 ⋅ / ⋅ = 230−15 2(10 ) ≥ 230

Problema 5: Carica fra due piani di carica

Una carica q è posta fra due piani infiniti di carica, paralleli l’uno all’altro e distanti 10 cm. La densità di carica del primo piano è + 2 e quella del secondo piano è − 2 = 4,0/ = −2,0/.

• Determina il valore di q. [7,4 nC]

Svolgimento

Per un piano infinito con densità superficiale il vettore campo elettrico generato dalla carica è perpendicolare al piano ed ha verso uscente se la carica è positiva, entrante se è negativa:

Campo elettrico generato da una distribuzione piana e infinita di carica

Nella figura sopra, in cui è rappresentato il campo elettrico generato da una distribuzione piana ed infinita di carica positiva, nei punti P, Q ed R il modulo del campo è lo stesso e vale:

= 20

Se si dispongono due piani a distanza d con distribuzioni di carica di segno opposto abbiamo la situazione illustrata di seguito. I campi elettrici generati da due distribuzioni piane e infinite di carica opposta hanno versi opposti all'esterno e lo stesso verso all'interno.

Nei punti A e C i campi generati dalla due distribuzioni hanno la stessa direzione, sono uguali in modulo ma sono opposti in verso, la loro somma è nulla. Nel punto B, posto tra i due piani, i campi elettrici hanno anche lo stesso verso, uscente dal piano positivo entrante in quello negativo. In questo caso la loro somma ha modulo:

| | = 2|| ||| | = 2 ⋅ 20||| | = 0

La carica q, posta tra due distribuzioni di questo tipo sperimenta una forza complessiva di 2,5 mN. Dalla relazione tra forza e campo...