Fisica 1 - Esercizio 11

Esercizio 11

Al centro di un disco omogeneo di raggio R e massa M è imperniata una molla di costante elastica k e lunghezza a riposo nulla. L'altro estremo della molla è fissato ad un punto di una parete verticale, con la quale il disco è in contatto in corrispondenza del punto. Sia y l'ordinata del punto di contatto.

Problema e domande

• Ammettendo che l'attrito garantisca il rotolamento puro e che il disco parta da fermo nella configurazione in cui θ = 0, determinare:
• i. Il valore di y in corrispondenza del quale il sistema si trova in equilibrio, studiandone la stabilità;
• ii. La legge oraria di y;
• iii. L'espressione, in funzione di R, k, M, del minimo valore del coefficiente d'attrito che garantisce il rotolamento puro;
• iv. La velocità posseduta dal centro del disco quando y è il minimo valore del rapporto affinché y/R = θ possa essere raggiunta tale configurazione.

Energia potenziale del sistema

Si scriva l'energia potenziale del sistema in funzione della distanza y:

V(y) = 1/2 k (R + y)^2 - Mgy

Poiché nell'ipotesi in cui sia garantito il rotolamento puro, l'energia potenziale può anche scriversi come y = Rθ, segue:

V(θ) = 1/2 k (Rθ)^2 - MgRθ

Stazionarietà dell'energia potenziale

Sfruttando la stazionarietà dell'energia potenziale:

∂V(y)/∂y = ky - mg, quindi ky - mg = 0 → y = y_eq

L'equilibrio risulta essere stabile per qualsiasi valore di y_eq.