Fisica 1 - Esercizio 2

Problema del piano inclinato e urto elastico

Un piano inclinato di massa, avente un angolo alla base di ^45°, si trova in quiete appoggiato su un piano orizzontale sul quale è libero di scorrere senza attrito. Una massa puntiforme viene lasciata libera di cadere e urta elasticamente il piano inclinato a una certa velocità, ad un’altezza dal suolo. Si richiede di determinare la distanza orizzontale, indicata con ℎ₀, percorsa dalla massa a seguito dell’urto, dopo che essa è caduta sul piano orizzontale.

Analisi dell'urto

Per comprendere cosa accade quando ≫, si utilizzano le seguenti proprietà:

• L’urto è elastico ed è pertanto conservata l’energia cinetica del sistema formato dai due corpi.
• La quantità di moto del sistema formato dai due corpi si conserva in direzione orizzontale, lungo la quale non agiscono forze esterne.
• Durante l’urto sulla massa puntiforme agisce un impulso diretto ortogonalmente al piano inclinato, ossia inclinato a ^45°; rispetto alla direzione positiva dell’asse orizzontale.

Equazioni del sistema

Utilizzando le equazioni del sistema, possiamo rappresentare le velocità del punto materiale e del piano inclinato mobile a seguito dell’urto come:

Per descrivere completamente l’urto, utilizziamo le seguenti equazioni:

1. \( mv = m\overline{v} + v_0^2 + MV \)
2. \( 0 = mv + MV_x \)
3. \( \Delta p = (-v\Delta p + v_0 = v - v_0) \)

Esplicitando \( V \) e \( v_x \) rispettivamente nella seconda e nella terza equazione, otteniamo:

\( mv = m\overline{v} + v_0^2 + MV \)

\( mV = - v_x \)

\( v_y = v - v_x \)

Sostituzione nelle equazioni

Sostituendo \( V \) e \( v_x \) nella prima equazione:

\( mv = m\overline{v} + v_y^2 + MV \)

Per semplificare ulteriormente, sostituendo nelle equazioni abbiamo:

\( Mv = v_x + -v_0 + \overline{v} \)

\( Mm = 2v - 2v v_x + v + vv \)

\( Mm + 2v v_x = 0 \)

\( Mm + \overline{v}v_x = 0 \)

Le equazioni permettono di descrivere con precisione il comportamento del sistema, tenendo in considerazione la conservazione dell’energia e della quantità di moto durante l’urto.