Esercizi svolti Teoremi di analisi matematica 1

Analisi 1 Teoremi Teoria ed esercizi

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema dell’esistenza degli zeri

Sia f(x) una funzione Y=f(x) continua nell’intervallo chiuso e limitato [a,b]. Se le immagini della funzione nei punti estremi dell’intervallo hanno segni opposti allora esiste un punto appartenente all’intervallo per cui f( )=00

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema di Weierstrass

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, assume in questo intervallo un valore massimo e un valore minimo. Ciò implica che se la funzione è continua in [a,b], è derivabile. Pertanto:

• Esiste almeno un punto di minimo ∈ , , ℎ ∈ , ℎ ℎ ( ) ≤ ()
• Esiste almeno un punto di massimo ∈ , ℎ ∈ , ℎ ℎ ( ) ≥ ()

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema dell’esistenza dei valori intermedi

Sia f(x) una funzione continua definita in un intervallo chiuso e limitato [a,b], definiti m ed M i suoi punti di massimo e minimo appartenenti all’intervallo, risulta è derivabile. Pertanto: risulta che f(x) assuma tutti i valori compresi tra il suo massimo e minimo, ovvero: ∀ ∈ , , ℎ, ≤ ≤ , ∃ ∈ , ℎ ( ) = 0 0

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema di Fermat

Sia f(x) una funzione derivabile nel punto c, intorno al suo dominio. Se c è un punto estremante (max,min) di f(x), la derivata di f(x) si annulla in c: f’(c)=0

Pertanto, affinché un punto di massimo o di minimo sia classificato come tale, la condizione necessaria è che la derivata calcolata nel punto si annulli.

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema di Rolle

Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b], ed è derivabile nel medesimo intervallo aperto Se f(a)=f(b) allora esiste un punto ′], [. ∈ ], [ ℎ = 00 0

Riassumendo

• f(x) continua in [a,b]
• f(x) derivabile in ]a,b[ ′ ∈ ], [ ℎ = 00 0
• f(a)=f(b)

Significa che nell’intervallo esiste un punto in cui la retta tangente alla funzione sia orizzontale (cioè nei punti di massimo e di minimo).

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021

Teorema di Rolle

Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021