Esercizi svolti, Macchine I

1. TP radiale e verifica a cavitazione

1. Data la seguente TP radiale, disegnare il triangolo di velocità (calcolare tutte le componenti delle velocità e gli angoli) della girante radiale operante con i seguenti dati. Calcolare il numero di pale, definire il grado di reazione e calcolare lo scorrimento.

• U_z = 18 m/s
• V_2m = 2.4 m/s
• W_2t = 5.4 m/s

Infine, utilizzando i seguenti dati, eseguire la verifica a cavitazione.

• Q = 0.01 m³/s
• H = 55 m
• Z = 1.85 m altezza del bacino rispetto all'asse della pompa
• ΔH = 7.5% H
• ω = 157 rad/s

Triangoli di velocità, numero delle pale e slip factor

Dai dati ho:

ψ₂ = V_2m / U₂ = 0.1333

V_2t = U₂ . W_2t = 12,6 m/s

Ψ₂ = V_2t / U₂ = 0,7 → R_p = 1 - ψ₂/2 = 0,65 → pale all’indietro

W_2m = V_2m = 2,4 m/s

• Massimizzo le CLU: [V_1t = 0] → V_1m = V₁ → devo trovare V_1m

In una prima approssimazione ipotizzo che: V_1m ≈ V_2m = 2,4 m/s.

Quindi ho che:

V₂ = U₂/ω = 0,115 m

Fisso Χ = 0,5 e uso l'equazione della portata → Q = π d_i2/2 (1 - Χ²) V_1m π/0,95

Ottengo:

• D_1e = 0,058 m
• D_1i = 0,029 m
• U_1e = ωd_1e/2 = 4,6 m/s
• U_1i = ωd_1i/2 = 2,3 m/s
• D₂ = 9,235 m

1. Data la seguente TP radiale, disegnare il triangolo di velocità (calcolare tutte le componenti delle velocità e gli angoli) della girante radiale operante con i seguenti dati. Calcolare il numero di pale, definire il grado di reazione e calcolare lo scorrimento.

• U₂ = 18 m/s
• V_2m = 2.4 m/s
• W_2t = 5.4 m/s

Infine, utilizzando i seguenti dati, eseguire la verifica a cavitazione.

• Q = 0.01 m³/s
• H = 55 m
• Z_b = 1.85 m altezza del bacino rispetto all’asse della pompa
• ΔH = 7.5 % H
• ω = 157 rad/s

Triangoli di velocità, numero delle pale e slip factor

Dai dati ho:

φ₂ = V_2m / U₂ = 0.1333

V_2t = U₂ . W_2t = 12.6 m/s

ψ₂ = V_2t / U₂ = 0.7 ➔ R_p = 1 - ψ₂ / 2 = 0.65 ➔ pale all’indietro

W_2m = V_2m = 2.4 m/s

➔ Massimizzo L_EUL: | W_1t = 0 | ➔ V_1m = V₁ ➔ devo trovare V_1m.

In primissima approssimazione ipotizzo che: V_1m ≅ V_2m = 2.4 m/s.

Quindi ho che:

V_r2 = U₂ / ω = 0.115 m

Fisso X = 0.5 e uso l’equazione della portata.

Q = π d_ie² / 2 (1 - X²) V_1m S_p / 0.95

Ottengo:

• D_ie = 0.058 m
• D_ic = 0.029 m
• U_ie = ωd_ie / 2 = 4.6 m/s
• U_ic = ωd_ic / 2 = 2.3 m/s
• D₂ = 9.23 m

Ingresso

V_II = 0

V_Im = 2,4 m/s

V_I = √(0, 2,4 m/s²) = 2,4 m/s

U_I = 4,6 m/s

W_I = √(U_I² + V_I²) = 7 m/s

α₁ = 90°

β₁ = arccos(U_A/W_A) = 49°

Uscita

U₂ = 18 m/s

V_2t = 12,6 m/s

V_2m = 2,4 m/s

V₂ = 12,03 m/s

W_2t = 5,4 m/s

W_2m = 2,4 m/s

W₂ = 5,9 m/s

α₂ = arccos(V_2t/V₂) = 10,8

β₂ = arccos(W_2t/W₂) = 23.7

Numero di pale: Z_p = β₂/3 ≈ 7,9 - ne prendo 7 (dispari e primo)

Slip factor: σ = 1 - 2/Z_p = 0,71

β_{2 corretto} = arctg(ψ/(1-σψ)) = 14,8°

Verifica a cavitazione

2,5 ≤ S ≤ 23 per le TP radiali fisso.

S = 2,75 = W/√(θ_hat)^3/4

Dai dati troviamo che h_ot = 1,06 m

NPSH_disp = (P - Ps(t)) / ρg + V_I²/(2g) + z - 0,075H = 8 m (circa)

→ NPSH_disp > h_ot

OK

2. Grado di reazione nelle turbomacchine

2. Il grado di reazione R_p nelle turbomacchine. Definizione analitica. Infine tracciare i triangoli di velocità e il profilo delle pale del I stadio di una turbina assiale.

• U_max = 285 m/s, V_A = V₂
• V_1t = 180 m/s, V₁ = 350 m/s.
• R_p = 0.75

• Il grado di reazione definisce il contributo di pressione dato dal rotore e quello dato dallo statore.

R_p = ΔH_rotor / ΔH_stadio = ΔH_rot / ΔH_rott+ΔH_stat = (L_EUL - ΔV_x) / 2

• In prima ipotesi massimizzo L_EUL (V_2t = 0, Ψ₂ = 0).

Ottengo R_p = -Ψ₄ / 2 con Ψ_A = V_at / U_max ≈ 0,63.

Ottengo R_p = 0,69 † impongo R_p = 0,75 = 1 - ΔΨ / 2 -> ΔΨ = 0,5 = Ψ₁+ Ψ₂.

Essendo la macchina assiale abbiamo che:

V_2u = V_1u = (V₁² - V_2t²)^1/2 = 300 m/s

Ingresso turbina assiale

U = 285 m/s

V_1t = 180 m/s

V_1m = 300 m/s

V₁ = 350 m/s

W₁ = V₁ - V_1t

W_1m = V_1m = 300 m/s

W₁ = (ΓW_1m+ΔV_1t)²

α = 59°

β₂ = 70°

Uscita turbina assiale

U = 285 m/s

V_2t = 37.5 m/s

V_2u = 300 m/s

V₂ = 302 m/s

V₂ = 302.2 m/s

W₂ = 389 m/s

α = -83°

β₂ = 43°

3. Turbomacchina motrice multistadio

3. Considerate una turbomacchina motrice multistadio operante con i seguenti dati:

• T₀ = 1473 K
• T₂ = 1362 K
• φ_u = 0.85
• ψ_u = 1.2
• R_c = 0.5

Calcolare e disegnare i triangoli di velocità e lo scheletro delle pale rotatrici e statoriche del I stadio.

0: Aduzione

1: Ingresso rotore

2: Uscita rotore

Dati che:

T_A = (T₀ + T₂) / 2 = 1417.5 K

Dai dati si comprende che è una turbina assiale perché abbiamo φ_ae e ψ_ae, fosse stata radiale ψ sarebbe stato unico.

Lavoro specifico

L = c_p (T_A - T_e) = 1 h_Kj (1417.5-1362) = 7847.5 J

Essendo R_c = 0.5 non posso ipotizzare ψ_A....

Ottengo:

L_eu = U_aV_at - U₂V_2t -> a macchina è:

U_A = U₂ + 4_eu = U_ae (V_A...

U = √(L_eu / ψ_ae - ψ_2e) ≈ 274 m/s

Utilizzo i valori esterni 1e e 2e perché poi la verifica a Mach è fatta su 2e.

Ottenuto U posso calcolare:

Ingresso rotore

U = 274 m/s

V_m = 232,9 m/s

V_t = φ_e U = 328,8 m/s

W_te = |U - V_t| = 54,8 m/s

W_me = V_m = 232,9 m/s

W_re = 239,8 m/s

α = arctg(φ_e) = 35°

β = arctg(V_me) = 77,7°

Uscita rotore

U = 274 m/s

V_2m = V_m = 232,9 m/s

V_2t = φ_e.U = 54,8 m/s

W_2t = U - V_2t = 219 m/s

W_2m = V_2m = 232,9 m/s

W_2e = 320 m/s

Verifica a Mach

C_s = √kRT = 740 m/s > 320 m/s

M_a = 0,49 OK

4. Girante radiale operatrice

Fase simmetrica φ = 0,54. Disegnare i triangoli di velocità di una girante radiale operatrice operante con i seguenti dati (assumere dati mancanti):

• ω = 6280 rad/s
• φ₂ = 0.14
• V_t = 0.7
• D₂/D_ac = 1.79
• χ = 0.66

Eseguire verifiche di corretto funzionamento, se necessarie.

Fisso: U_max = 400 m/s (un buon valore per TC)

Calcolo V₂ = U_max/ω = 6,37 cm → D₂ = 12,74 cm

Dai dati ho: D_ac = D₂/1,79 = 7.11 cm e D₁ = χD_ac = 4,7

Per calcolare le rimanenti incognite devo fare delle ipotesi:

Massimizzo ψ_o → V_at = 0 ψ₁ = ψ_ac = 0.

Assumo V_zm ≡ V_ami ≡ V_ame → V_loe prima approssimazione va bene.

Velocità sulla sezione di mandata costante.

Ingresso ae

U_ae = ω . R_ac = 223 m/s

V_at = 0

V_ame = 56 m/s = V_ae

W_ae = U_ae = 223 m/s

W₁ = 230 m/s

α₂ = 90°

β₁ = 20,8°

Stesso valore → 20,8°

Ingresso si

U_si = ωR_ac = 144 m/s

V_ti = 0

V_mi = 56 m/s = V_ii

W_mi = V_ami = 56 m/s

W_it = U_ai = 8.4 m/s

W_1i = 15,7 m/s

α₁ = 90°

β₁ = 20,8°

Stesso valore → 20,8°

Uscita 2

U₂ = U_max = 400 m/s

V_t2 = ψ_t2 = 280 m/s

V_2m = V_2o = 56 m/s

W₂ = 205 m/s

W_2c = U₂ - V_t2 = 120 m/s

V_2m = V_2m = 56 m/s

W₂ = 133 m/s

Δ₂ = cos^-1(V_1t/V₂) = 11,135°

β₂ = cos^-1(V_ctW₂) = 25°

La verifica la faccio su W_ac (è il più grande).

Ipotizzo 18° → c_s = √RT = 342 m/s

H_ac = W_ae/c_s = 0,647 < 0,65 OK