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1 Il sistema LTI descritto da G(s) = ^s-1/_s²+4 ha uscita

Il sistema LTI descritto da G(s) = ^s-1/_s²+4 ha uscita:

ω_n = 2 ⇒ ζ = 0 ⇒ ζ ω_n = 0 Y(cos(ω_nv1 - ζ²) t ) e^{0 sin ( 2 t ) t = sin 2t}

2 Sistema LTI descritto da G(s) = ^s/_s²+5s+10 ha modi naturali

Sistema LTI descritto da G(s) = ^s/_s²+5s+10 ha modi naturali: orrido 2:

ω_n² = 10 ⇒ ω_d = t 10 ζω_n = 4 ⇒ ζ = ¹/₂ t e ^-t

3 Sistema dinamico non lineare &xve; = (x-1)(4-x) ha equilibri

Sistema dinamico non lineare &xve; = (x-1)(4-x) ha equilibri:

PDC: &xve; = 0 ⇔ (x-1)(4-x)=0⇔x1=1, x2=4Ā = ^dϕ/_dx = -2x+5 ⇒ Ā|x=x1 = -2.1 + 5 = 3 ⇒ x1 e^' instabileĀ|x=x2 = -2.4 + 5 = -3 ⇒ x2 e^' localmente asintotic, stabi1

1 Il sistema LTI descritto da G(s) = ^s-1/_s²+4 ha uscita

Il sistema LTI descritto da G(s) = ^s-1/_s²+4 ha uscita:

s₁ e s₂ = 0s₂ ω_n = 0 → ζ = 0-ω_{n√(1-ζ²)t-ωn}sin(ω_n^√(1-ζ2))

2 Sistema LTI descritto da G(s) = s/_s²+2s+10 ha modi naturali

Sistema LTI descritto da G(s) = s/_s²+2s+10 ha modi naturali:

G(s) = s/_{[s-(-1+3J)][s-(-1-3J)]}

Punto 1: (-1+3J) → e^-tsin3t

Punto 2: (-1-3J) → e^-tcos3t

3 Il sistema dinamico non lineare ẋ = (x-1)(4-x) ha equilibri

Il sistema dinamico non lineare ẋ = (x-1)(4-x) ha equilibri:

ẋ = (x-1)(4-x) = -x²+5x-4

P.C.E: ẋ = 0 ↔ (x-1)(4-x) = 0 ↔ x̄₁ = 1, x̄₂ = 4

Ā = ∂f/∂x = -2x+5

Ā|_x=x̄1 = -2.1 + 5 = 3 → x̄₁ è instabile

Ā|_x=x̄2 = -2.4 + 5 = -3 → x̄₂ è localmente asintoticamente stabile

Dal diagramma di Bode verificare se in frequenza della F.D.T. Dota

Dal diagramma di Bode verificare se in frequenza della F.D.T. Dota:

G(s) = ¹/_{(s+1) (1 - ^s/10)}

Prodotti

K_B = -¹/₁₀ → |K_B| = 0,1 → 0 < |K_B| < 1 → 20 log₁₀ 0,1 = 20 * (-1) = -20 dB

Poli

(s+1) → polo in 1

(1 - ^s/₁₀) → polo in 10

Fase

K_B = -¹/₁₀ < 0 → +180°

Poli:

(s+1) → polo in s=1

(1 - ^s/₁₀) → polo (al contrario) in 10

La F.D.T. è corretta.

La risposta forzata del sistema

La risposta forzata del sistema G(s) = ³/_1-2s² con ingresso u(t) = 2 E¹:

u(t) = 2 ➔ U(s) = ²/₅

G(s) = ³/_1-2s² = ³/((1-√2s)(1+√2s))⇒ Y(u,s) = ^k₁/_s + ^k₂/_s + ...

Residuo ⇒ k₁ = lim_s→1/√2 G(s)⋅U(s)⋅(s-¹/_√2) == ³/((1-√2s)(1+√2s)) ⋅ ²/₅ ⋅ \[ \frac{1}{\sqrt{2}} \] = ... = 3

k₂ = lim_s→-1/√2 G(s)⋅U(s)⋅(s+¹/_√2) = ... = -3

k₃ = lim_s→0 G(s)⋅U(s)⋅s = ... = 6

⇒ Y(u,s) = ³/_1-√2s - ³/_1+√2s + ^σ/_s = ...

⇒ y(t) = -³/_√2 e^1/_√2t - ... + 6 μ(t)

lim_t→∞ y(t) = -³/_√2 e^1/_√2∞ = -∞ + 6 = -∞ Diverge

Il valore asintotico della risposta impulsiva

Il valore asintotico della risposta impulsiva di G(s)=^s+9/_s²+5s+9:

Risulta:                &newline;= ingresso a delta di Dirac &newline;                                               =^s+9/_s(s+1) per ^1/s è s ⁰ =s^∞ l/ =2

Il sistema dinamico lineare

Il sistema dinamico lineare

Controllo la stabilità asintotica:

det A = [-2 -2] [0 2] [2 -1] [0 -2] = -9 + ^λ2 = 0 ⇒ ^λ2 = 9 ⇒ λ = ± 2

Autovalori ⇒------⇒non è asintoticamente stabile 

Controllo la biostabilità:

G(s)=^{c(sI-A)-1 B}+D =*(SI-A) = [^{s-_{1 0 5agridddet}}] [^{2 1}] = 2x2(SI-A) ^-1. Agginta (SI-A)={1G(s) ⟷ g(t) = [^e(i-ζc)] = e(ζ)^t∫∝^{0e-e-2ctdt = - 1/20c=e-2let=e0/sub>0=n1/2 =1/2}