Esercizi svolti di Analisi Matematica 2 - 2014

Problema 1.

La funzione f : Rⁿ → R data da

f(x) = |x|²(1 - |x|²)

ha:

• A. due massimi assoluti stretti e una sella
• B. due massimi assoluti stretti e un minimo relativo stretto
• C. due minimi relativi stretti e un massimo assoluto stretto
• D. due selle e un massimo relativo stretto
• E. due massimi assoluti e una sella

B.

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Fond. Analisi Mat. 2 , DICEA, Primo canale

Prof. N. Garofalo

20 Novembre, 2014 - Prova scritta n. 1

Nome..............................................................

Matricola n. ......................................................

Problema 1.

La funzione \(f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) data da

\(f(x) = |x|^2 (1 - |x|^2)\)

ha:

• A. due massimi assoluti stretti e una sella
• B. due massimi assoluti stretti e un minimo relativo stretto
• C. due minimi relativi stretti e un massimo assoluto stretto
• D. due selle e un massimo relativo stretto
• E. due massimi assoluti e una sella

1. È consentito l’uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.

2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.

3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 2. La funzione

f(x, y, z) = ye^{−3x2−y2−z2} ,   (x, y, z) ∈ R³,

ha:

1. una sella in (0, 0, 0), un massimo relativo in ogni punto del piano √3x + y + z = 0, un minimo relativo in ogni punto del piano −√3x + yz = 0
2. un minimo assoluto stretto in (0, −1, 0) e un massimo relativo ma non assoluto in (0,1, 0)
3. un minimo relativo stretto ma non assoluto in (0, −1, 0) e un massimo relativo stretto ma non assoluto in (0,1, 0)
4. un minimo relativo stretto in (0, −1, 0) e un massimo relativo ma non assoluto in (0,1, 0)
5. un minimo assoluto stretto in (0, −1, 0) e un massimo assoluto stretto in (0, 1, 0)

Answer: E.

y^{e−3x2−y2−z2}

−3x₁y_{e^{−3x2−y2−z2}}

f_x = −3x₁y_{e^{−3x2−y2−z2}}

f_y = (−1 + y²)_{e^{−3x2−y2−z2}}

f_z = −2y_{e^{−3x2−y2−z2}}

f_xx = e^{−3x2−y2−z2} (9x²y − 3y)

f_xy = e^{−3x2−y2−z2} (3x²y − 3x)

Hessiana (0, 1, 0) →

• −3e^−1/2
• 0
• 0

detH = −6e^−1/2

(0, 1, 0) _{detH +} max

(0, −1, 0) ^{det +} min

Problema 3.

(a) Se γ(t) = (2 cos t, 2 sin t, √5t), con 0 ≤ t ≤ 2π, allora la lunghezza di γ è:

• A. 2π
• B. 3π
• C. 4π
• D. 5π
• E. 6π

(b) Siano f : ℝ² → ℝ⁴ e g : ℝ⁴ → ℝ³ due funzioni differenziabili rispettivamente in x₀ ∈ ℝ² e in y₀ = f(x₀) ∈ ℝ⁴, con differenziali dati da

• dg(y₀) = ( 3 1 -5 -4 ) (-10 0 2 -1 ) ( 8 -3 0 -2 )
• df(x₀) = ( 2 0 )( -1 3 )( 5 -2 )(10 -4)

Se d(g ∘ f)(x₀) = [c_ij], allora c₃₁ è dato da:

• A. 0
• B. 1
• C. 2
• D. -1
• E. -2

Problema 4. Un potenziale del campo di forze

Φ(x) = ^x⁄_{|x|(1+|x|²)^3/2}, x ∈ ℜⁿ \ {0},

è dato da:

1. U(x) = ^|x|⁄_{(1+|x|²)^3/2} - 1
2. U(x) = ^|x|3/2⁄_1+|x|² + 10
3. U(x) = ^|x|2⁄_1+|x|² - 10
4. U(x) = ^|x|⁄_√1+|x|² - 10
5. U(x) = ^|x|2⁄_√1+|x|² + 100

Answer: D

dato che ^dU⁄_dx = ^x⁄_{|x|(1+|x|²)^3/2} allora

U(x) = ∫ ^x⁄_{|x|(1+|x|²)^3/2} = ∫x [|x|(1+|x|²)^3/2]^-1 = ∫x |x|^-1 (1+|x|²)^-3/2 =

= ∫^x⁄_{|x| (1+|x|²)^3/2} = ^|x|⁄₂ ∫ 2x (1+|x|²)^-3/2 =

= ^|x|⁄₂ (1+|x|²)^-3/2= ^|x|⁄₂ ⋅ 2 ⋅ ¹⁄_{N + |x|²} =

= ^|x|⁄_{N + |x|²} - C