Esercizi svolti di Analisi Matematica 2

Fondamenti di analisi matematica 2, DICEA, secondo canale

Prof. N. Garofalo

20 Novembre, 2014 - Prova scritta n. 1

Nome..................................................

Matricola n. ............................................

Problema 1

La funzione \( f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \) data da \( f(x) = \begin{cases} |x|^{5} \log |x|, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases} \) ha:

• A. Due minimi assoluti stretti e una sella
• B. Ha due massimi relativi stretti e un minimo assoluto stretto
• C. Ha due minimi assoluti stretti e un massimo relativo stretto
• D. Ha una sella, un massimo e un minimo relativo stretto
• E. Ha due minimi assoluti e un massimo assoluto

C.

--------------------------

1. È consentito l'uso di qualsivoglia testo o appunti, con l'esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

1

Fondamenti di analisi matematica 2, DICEA, secondo canale

Prof. N. Garofalo

20 Novembre, 2014 - Prova scritta n. 1

Nome.................................................

Matricola n.................................................

Problema 1

La funzione f : Rⁿ → R data da f(x) = { |x|³ log |x|, x ≠ 0, 0, x = 0 } ha:

• A. Due minimi assoluti stretti e una sella
• B. Ha due massimi relativi stretti e un minimo assoluto stretto
• C. Ha due minimi assoluti stretti e un massimo relativo stretto
• D. Ha una sella, un massimo e un minimo relativo stretto
• E. Ha due minimi assoluti e un massimo assoluto

C.

1. È consentito l'uso di qualsivoglia testo o appunti, con l’esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
3. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 2

La funzione f(x, y) = xy - x² - y² - 2x - 2y + 4,   (x, y) ∈ ℝ², ha:

• A. Un massimo relativo stretto
• B. Un minimo assoluto stretto e un massimo relativo stretto
• C. Un minimo relativo stretto ma non assoluto e un massimo relativo stretto
• D. Un minimo relativo stretto
• E. Una sella

Answer: A.

f_x = y - 2x - 2

f_y = x - 2y - 2

{ y - 2x - 2 = 0 → { y = 2x + 2 → { y = 2x + 2 x - 2y - 2 = 0 x - 4x - 4 + 2 = 0 -3x = 6 → { y = 2x + 2 x = -2}

y = -2

x = -2

Guardo l'Hessiano:

[ -2 1 ][ 1 -2 ] autovalori negativi → p.to di max relativo

O meglio

det = 3 > 0 e f_xx (x, y)

Problema 3

(a) Se γ(t) = (e^tcos t, e^tsin t), con 0 ≤ t ≤ 2π, allora la lunghezza di γ è:

• A. √2(e^π − 1)
• B. √2(e^2π − 1)
• C. √2(e^3π − 1)
• D. √2(e^π − 2)
• E. √2(e^2π − 2)

B

γ'(t) = (e^tcos t - e^tsent, e^tcost + e^tsent)

‖γ'(t)‖ = √[ (e^t(cost-sent))² + (e^t(cost+sent))² ]

= √[ e^2t(cost – sent)² + e^2t(cost + sent)² ]

= √[ e^2t(1-2costsent) + e^2t(1+2costsent) ]

= √[ 2e^2t ] = √2e^t

Quindi ₀∫^2π √2 e^t = √2 ₀∫^2π e^t = √2 [e^t ]₀^2π = √2 (e^2π − e⁰ )

(b) Siano f : ℝ⁵ → ℝ³ e g : ℝ³ → ℝ⁴ due funzioni differenziabili rispettivamente in x₀ ∈ ℝ⁵ e in y₀ = f(x₀) ∈ ℝ³, con differenziali dati da

d(y₀) = (-5 3 -2)( 6 -8 0)(-2 7 0)

d(x₀) = ( 2 0 10 -4 -1)( 5 -2 -7 1 0)

Se d(g ∘ f)(x₀) = [cᵢⱼ], allora c₂₅ è dato da:

• 2132292528

Problema 4

Un potenziale del campo di forze Φ(x) = √1 + |x|² x, x ∈ Rⁿ\{0}, è dato da:

• A. U(x) = (1+|x|²)^3/2 + 5|x|²
• B. U(x) = (1+|x|²)^3/2 + 6
• C. U(x) = (1+|x|²)^3/2 + 7
• D. U(x) = √(1+|x|²) + 8
• E. U(x) = √1+|x|² / 3 + 9|x|²

Answer: B

Dalla formula ∫[f(x)]^ⁿ·f(x) = 1/n+1 [f(x)]^ⁿ+1 + c il potenziale è dato da: du/dx = n+1+|x|² · x

Dunque ∫n+1+|x|² · x == 1/2 (1+|x|²)^1/2 · 2x = 1/2 [(1+|x|²)^3/2]

= 1/2 [(1+|x|²)^3/2 · 2/3] = (1+|x|²)^3/2/3 + c