Esercizi svolti di Analisi 2

Esercizio: Trovare Max e Min Relativi

Calcolo di ∇f

f_x = 2xy + 2x = 0
f_y = x² - 2 = 0
Sia il punto A sia il punto B sono punti di sella per la funzione.

Esercizio: Max e Min

∇f:
f_x = 2e^-x2y2 + 2x(-2x)e^{-x2y2 = 0}
f_y = 2x(-2y)e^-x2y2 = 0
x = ±√(2)/2
det H(A) = 18/e f_xx
det H(B) = 16/e f_xx > 0 Punto di min relativo.

Calcolo di ∇f per la ricerca di punti stazionari

∇f = { f_x = 2xy + 2x = 0
f_y = x² - 2 = 0
y = -1, x = ±√2
A = (√2, -1), B = (-√2, -1)

Calcolo la matrice Hessiana

H = | f_xx f_xy |
| f_yx f_yy |
f_xx = 2y + 2
f_yy = 0
f_xy = 2x
f_yx = 2x
H = | 2y + 2 2x |
| 2x 0 |
det H(A) = -8 < 0
det H(B) = -8 < 0
Sia il punto A sia il punto B sono punti di sella per la funzione.

Esercizio: Max e Min

f(x, y) = 2xe^-x2y2 - x²y²
∇f: { f_x = 2e^-x2y2 + 2x(-2x)e^-x2y2 = 0
f_y = 2x(-2y)e^-x2y2 = 0
e^-x2y2(2 - 4x²) = 0
(-4xy)e^-x2y2 = 0
x = ± √2 / 2, y = 0
A = (√2 / 2, 0), B = (-√2 / 2, 0)

Calcolo la matrice Hessiana

H = | f_xx f_xy |
| f_yx f_yy |
f_xx = -2xe^-x2y2(2 - 6x²) + e^-x2y2(-2x³ - 12x)
f_yy = -4xe^-x2y2 + (-4xy)(-2y)e^-x2y2 = e^-x2y2(-6x + 8xy²)
f_xy = -24ye^-x2y2
f_yx = 8xye^-x2y2
det H(A) = -18/e f_xx < 0 Punto di Max Relativo
det H(B) = -16/e f_xx > 0 Punto di Min Relativo

Esercizio: Si consideri la serie

• Studiare la convergenza puntuale della serie;
• Indicare gli intervalli in cui la serie converge uniformemente alla funzione somma. Si scelga uno di questi intervalli e ivi si provi la convergenza uniforme.

Criterio del rapporto per trovare il raggio di convergenza:
lim_k→+∞ (k+4) / 3^k+1 x^k+1 / ((k+3) / 3^k x^k) = lim_k→+∞ (1/k) * (k+4)/(k+3) * 1/3 = 1/3 = lℜ = 1/l = 1/(1/3) = 3 |x|
La serie converge puntualmente in x ∈ (-3,3);

• Provo la convergenza uniforme con Abel:

Posito x=3 _k=0^+∞ Σ (k+3) / 3^k x^k
La serie non converge
Posito x=-3 _k=0^+∞ Σ (k+3) (-1)^k 3^k
La serie non converge
La serie converge uniformemente in un intervallo (a, b) chiuso e limitato con -3
Provo la convergenza uniforme in un intervallo [-1,1]
x =-1 _k=0^+∞ Σ (k+3) / 3^k (-1)^k
Applico Leibniz
lim_k→+∞ (k+3)/3^k = lim_k→+∞ (k+3)/(k⁺¹) * 1/3^k+1 / (k+3) = 1/3

Esercizio: Determinare Max e Min Assoluti di f sotto il vincolo

O = {(x, y) ∈² | y ≥ 0, y ≤ 1-x, y ≤ 1+x}
y = 1 - x
y = -1 + x
∇f = { f_x = 2xy - 1 = 0
f_y = x² = 0
x = 0
f_y = x² = 0
f_x = 2xy - 1 = 0
Il sistema è impossibile e pertanto non ci sono punti stazionari nell'interno di O.

Parametro il bordo

γ₁ : {x = t, y = 1 - t, 0 ≤ t ≤ 1}
A = (0, 1)
B = (1, 0)
h(t) = t(1 - t) = t²(1 - t) - t + 1
h(t) = t² - t³ - t + 1
h'(t) = - 3t² + 2t - 1 > 0
Δ = b² - 4ac = 4 - 9(-3)(-1) = -8 < 0
Non si ha soluzione in ^R. Quindi, i punti sono direttamente gli estremi.

γ₂ : {x = t, -1 ≤ t ≤ 0, y = 1 + t}
h(t) = t²(1 + t) + t + 1 = t² + t³ - t + 1
h'(t) = 3t² + 2t - 1 ≥ 0
Δ = b² - 4ac = 4 - 9 . 3(-1) = 16
t_1,2 = -2