Esercizi svolti analisi matematica 2

Problema 1

(a) Il volume del tronco di paraboloide cubico H = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ R⁴ | 4 ≥ (x₁² + x₂² + x₃²)^3/2, 1 ≤ x₄ ≤ 4} è: ....

(b) Trovare le coordinate del baricentro di H.

• 1. È consentito l'uso di qualsivoglia testo o appunti, con l'esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
• 2. Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
• 3. Svolgere i propri calcoli sui fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 1

(a) Il volume del tronco di paraboloide cubico = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ℝ⁴ | x₄ ≥ (x₁² + x₂² + x₃²)^3/2, 1 ≤ x₄ ≤ 4} è: .....

(b) Trovare le coordinate del baricentro di .

• È consentito l'uso di qualsivoglia testo o appunti, con l'esclusione di tavole di derivate, integrali e limiti. Non è possibile usare calcolatrici.
• Se per un problema non si sceglie alcuna risposta, si ottiene credito nullo per quel problema.
• Svolgere i propri calcoli sui fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta. Consegnare solo i fogli del compito.

Problema 2

(a) Sia Ω ⊂ R³ un aperto di classe C¹, avente Vol₃(Ω) = 4π. Si consideri il cono K ⊂ R⁴ ottenuto congiungendo con dei segmenti di retta i punti dell'insieme Ω × {8} con l'origine in R⁴. Calcolare il Vol₄(K).

(b) Sia ν la normale unitaria esterna a K. Calcolare il flusso esterno ∫_∂K <Φ, ν> dσ del campo vettoriale Φ(χ) = Φ(x₁, x₂, x₃, x₄) = (x₁ − x₄, 2x₃ + x₂, e^x₄ − x₃, x₂² + 2x⁴).

∫_∂K <Φ, ν> dσ = ∫_K div Φ div Φ = Φ_x1 + Φ_x2 + Φ_x3 + Φ_x4 = 1 + 1 + (−1) + 2 = 3 allora = 3 ⋅ Vol(K) = 3 ⋅ 8π = 24π dalla formula: Vol_n+1(K) = ^h/_n+1 Vol_n(Ω) allora Vol₄(K) = ⁸/₄ π = 8π

Problema 3

La soluzione del problema di Cauchy y''(x) + 2x²y(x) = 0, y(0) = √π/2 è:

• y(x) = -√π/2 e^-πx2
• y(x) = √π e^-πx2
• y(x) = √π/2 e^-πx2
• y(x) = -√π e^-πx2
• y(x) = √π/2 e^-2π2x2

b). Il volume del solido di rivoluzione ottenuto facendo ruotare la curva y = x√log x, 1 ≤ x ≤ e attorno all’asse x è dato da:

• π/3 (e³ + 1)
• π/3 (2e³ - 1)
• π/3 (2e³ + 1)
• π/3 (e⁴ + 1)
• π/3 (2e³ + 1)

Problema 4

L'area della superficie di rivoluzione ottenuta ruotando attorno all'asse z la curva C di equazioni parametriche: x = u, z = 1 + u², 0 ≤ u ≤ √2, è:

• 13/3 π
• 26/3 π
• 13/6 π
• 13/6 π
• 13/3 π

Con metodo Bramucci x = u z = 1 + u² 0 ≤ u ≤ √2 a(u) = u, b(u) = 1 + u², a'(u) = 1, b'(u) = 2u Area dS = |a(u)| √[ (a'(u))² + (b'(u))² ] dθ du dS = u √(1 + 4u²) du S_tot = 2π ∫₀^√2 u √(1 + 4u²) du = 2π ∫₀^√2 1/8 √(8u √1 + 4u²) du = (π/4) [ 2/3 (27 - 2) 1 ] = (π/4) (52/3) = (13/3) π

Problema 5

(a): Calcolare i seguenti integrali generalizzati: \(\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx\), \(\int_{0}^{\infty} \frac{t}{(t^2 + 1)^2} dt\), \(\int_{1}^{\infty} \frac{t+1}{(t^2 + 2t + 10)^{3/2}} dt\)

(b) La soluzione del problema di Cauchy \(x'(t) + \sin t \, x(t) = 3 \cos t,\)   \(x(0) = 1,\) è:

\(X(t) = e^{-P(t)} \left(C + \int e^{P(t)} q(t) dt \right)\)

\(P(t) = \int \sin t = -\cos t\)

\(x(t) = e^{\cos t} \left(C + \int e^{-\cos t} \cdot 3 \cos t \, dt \right) =\)

\(= e^{\cos t} \left(3 \cos t \cdot (-e^{-\cos t}) - \int 3 \sin t (-e^{-\cos t}) \, dt \right) =\)

\(= -3 \cos t e^{-\cos t} + 3 \int \sin t e^{-\cos t} =\)

\(= -3 \cos t e^{-\cos t} + 3 \left[ \sin t e^{-\cos t}\right]\)

\(= e^{\cos t} + 3 e^{-\cos t} (1 - \cos t)\) ora \(1 = C e^{\cos t} + 3 e^{-\cos t} (1 - \cos t) \rightarrow C = \frac{1}{e}\) dunque \(x(t) = \frac{1}{e} e^{\cos t} + 3 e^{-\cos t} (1 - \cos t)\)