Esercizi svolti Analisi Matematica 2

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Esercizi svolti di analisi matematica 2, utili in preparazione dell'esameEsercizi con svolgimento passo passo e relativa soluzione.Per preparazione compitini ed esame stesso, …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Garofalo Nicola

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2020-2021

8 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Warm up FAM218 dicembre, 2016

Prof. N. Garofalo

Problema 1

Siano \( F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) e \( G : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) date da \( F(s,t,u) = (s^2 - t \sqrt{u}, te^u + \pi u) \, , \, G(x,y) = \sin(x^2 - y) \).

Allora \( \frac{\partial(G \circ F)}{\partial u} \Bigr|_{\left(\frac{3\pi}{4}, 0, 1\right)} = \)

A. \( \pi \)
B. \(-1\)
C. \(0\)
D. \(-\frac{3\pi}{2}\)
E. \(1\)

Problema 2

Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange determinare i punti della superficie \( S = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2 + y^2 + 16z^2 = 1 \} \) la cui distanza dall'origine è minima.

A. \( (0, \pm 1, 0) \)
B. \( (\pm 1, 0, 0) \)
C. Tutti i punti \((x, y, 0)\) con \(x^2 + y^2 = 1\)
D. \( (0, 0, \pm \frac{1}{4}) \)
E. \(\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{\sqrt{2}}{2}, 0\right)\)

Problema 3

Il piano tangente alla superficie \( S = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2, z = e^{-(x^2+y^2)}\} \) nel punto \( P_0 = (-\sqrt{\log 2}, -\sqrt{\log 2}, \frac{1}{4}) \) è dato da:

A. \( z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\log 2}}{2} \left( x - \frac{\sqrt{\log 2}}{2} \right) + \frac{-\sqrt{\log 2}}{2} \left( y + \sqrt{\log 2} \right) \)
B. \( z = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{\log 2}}{2} (x - \sqrt{\log 2}) + \frac{\sqrt{\log 2}}{2} \left( y + \sqrt{\log 2} \right) \)
C. \( z = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{\log 2}}{4} (x - \sqrt{\log 2}) + \frac{\sqrt{\log 2}}{4} \left( y + \sqrt{\log 2} \right) \)
D. \( z = \frac{1}{4} + \sqrt{\log 2} \left( x - \frac{\sqrt{\log 2}}{2} \right) + \sqrt{\log 2} \left( y + \frac{\sqrt{\log 2}}{2} \right) \)
E. \( z = \frac{1}{4} - \sqrt{\log 2} (x - \sqrt{\log 2}) + \sqrt{\log 2} \left( y + \sqrt{\log 2} \right) \)

(ii) La retta normale a \( S \) nel punto \( P_0 \) è data da \( \frac{1}{4} \).

Warm up FAM218 dicembre, 2016

Prof. N. Garofalo

Problema 1

Siano \( F : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 \) e \( G : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) date da \( F(s,t,u) = (s^2 - t \sqrt{u}, te^u + \pi u) \), \( G(x,y) = \sin(x^2 - y) \).

Allora \(\frac{\partial (G \circ F)}{\partial u}\left(\frac{3\pi}{2},0,1\right)\) =

A. \(\pi\)
B. \(-1\)
C. 0
D. \(-\frac{3}{\pi}\)
E. 1

Problema 2

Usando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange determinare i punti della superficie \( S = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x^2 + y^2)^2 + 16z^2 = 1 \) la cui distanza dall’origine è minima.

A. (0, ±1, 0)
B. (±1, 0, 0)
C. Tutti i punti \((x,y,0)\) con \( x^2 + y^2 = 1 \)
D. \((0, 0, ±\frac{1}{4})\)
E. \((±\frac{\sqrt{2}}{2}, ±\frac{\sqrt{2}}{2}, 0)\)

Problema 3

Il piano tangente alla superficie \( S = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2, z = e^{-(x^2+y^2)} \}\) nel punto \( P_0 = \left(-\sqrt{\log 2}, -\sqrt{\log 2}, \frac{1}{4}\right) \) è dato da:

A. \( z = \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\left(x - \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\right) + \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\left(y + \sqrt{\log 2}\right) \)
B. \( z = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\left(x - \sqrt{\log 2}\right) + \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\left(y + \sqrt{\log 2}\right) \)
C. \( z = \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{\log 2}}{4}\left(x - \frac{\sqrt{\log 2}}{4}\right) + \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\left(y + \sqrt{\log 2}\right) \)
D. \( z = \frac{1}{4} - \sqrt{\log 2}\left(x - \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\right) + \sqrt{\log 2}\left(y + \frac{\sqrt{\log 2}}{2}\right) \)
E. \( z = \frac{1}{4} - \sqrt{\log 2}\left(x - \sqrt{\log 2}\right) + \sqrt{\log 2}\left(y + \sqrt{\log 2}\right) \)

(ii) La retta normale a S nel punto \( P_0 \) è data da \(\ \frac{1}{2} \).

A. _{√log 2 - x = √log 2 + y = √log 2 ≠ - √log 2_x/8}
B. _{√log 2 - x = - √log 2 + y = √log 2 = √log 2_x/8}
C. _{√log 2 + x = - √log 2 + y = √log 2 = - √log 2_x/8}
D. _{√log 2 + x = - √log 2 + y = √log 2 = - √log 2_x/8}
E. _{√log 2 - x = √log 2 + y = √log 2 = - √log 2_x/8}

Problema 4

Un potenziale del campo di forze Φ(x) = _{x/√1-|x|₂} con x ∈ ℝⁿ e |x|.

A. U(x) = √1 - |x|₂ + 96
B. U(x) = _{√1-|x|₂ + 97}
C. U(x) = √1 - |x|₂ + 98
D. U(x) = _-|x|₂/√1 - |x|₂ + 99
E. U(x) = |x|√|1 - |x|₂| + 100

Problema 2

Sia γ(t) = (t³, t², t), 0 ≤ t ≤ 1, allora _{∫_γ e^xy ^{-log(1 + x²)} ( { (2xy) + _x²/ 1 + x² } dx + x² dy + _2x/1 + x²} dz ) =

A. 1 - 2e
B. -1 + 2e
C. e² - 1
D. 2 - e
E. 2log 2 - e

Problema 4

Siano F : R² → R³ e G : R³ → R date da F(s, t) = (s² - t, 3t - s + 1, e^t+1), G(x, y, z) = log(1 + x² - y + z).

Allora ∂(G◦F)/∂s (0, -1) =

A. _{1 + e^-1}/e
B. log(1 + e^-1)

Problema 2

Si consideri la forma differenziale ω = (x² - y²)e^{-3xy+y^-1} - 3xy + y^-1)dx + [y² + (y² - 2xy)e^{-3xy+y^-1} - 3xy + y^-1 - 3x] dy.

Se (t) = (cos t, 1 + sin t), ≤ t ≤ , allora ∫ ω =

A. log^1/4 ^{4+e^-1}/_{log 8⁵+e^-1}
B. log ³√4 + e^-5
C. log ^{2 + e^-1}/_{6 + e^-1}
D. log(4+e^-5)/(8+e^-5)/_{log e^-1}
E. log ^{4⁵/_8⁵+e^-5}

Problema 1

Il lavoro W^F del campo di forze F(x) = |x|²e^-|x|² x, x ∈ ℝⁿ, lungo la curva (t) = (2 - t, t², t³, ..., tⁿ), 0 ≤ t ≤ 1, è:

A. 0
B. 1/2[4^e^-4 - e^-1]
C. 1/2[5^e^-4 - (n + 1)e^-n]
D. 1/2[6^e^-4 - 3e^-3]
E. 1/2[5^e^-2 - n^e^-n]

Problema 4

Siano a_i > 0, i = 1, .. , n assegnati. Fra tutti i parallelepipedi in ℝⁿ con spigoli paralleli agli assi coordinati, un vertice nell'origine e quello diametralmente opposto sull'iperpiano x₁/a₁ + ... + x_n/a_n = 1, quello di volume massimo ha volume:

A. a₁a_n √n
B. a₁+a_n_n √ⁿ
C. (^√a_n/_n)

Problema 5

(a) Sia γ(t) = (t, 1 - t, t²), 0 ≤ t ≤ 1. L'integrale ∫_γ ^{x dx}/_{1 + (x² + y² - z²)²} ^{y dy}/_{1 + (x² + y² - z²)²} ^{z dz}/_{1 + (x² + y² - z²)²} è uguale a:

π/40-π/403π/2

O facendo tutti i passaggi per trovare il potenziale, o vedendolo subito, ho: U(x,y,z) = 1/2 arctan (x² + y² - z²).

Allora uso la formula ∫_γ ω = U(γ(1)) - U(γ(0)).

γ(1) = (1,0,1)

γ(0) = (0,1,0)

= 1/2 arctan(0) - 1/2 arctan(1) == 0 - π/4 = -π/4

Warm up

Problema 1

S={S(x,y,z)∈R³|(x²+y²+16z²-1=0} P₁-(x₁,y₁,z)_∈S P₀-(0,0,0)

Il vincolo dist=f(x,y,z)=N^x²+y²+z² ∇f-∇fΣ=0.

Prendo f² f(x,y,z)=x²+y²+z².

DF-((2x,2y,2z)) ∇Σ=(x,y,16z) per x2x=λ[x(x²+y²)] mono.ploco per x2y=λ[y(x²+y²)] x=λxxλ=λy[x(x²+y²)] mono.ploco per x2z=λ(32z)(x²+y²)+16z²-1=0 y=xx=0⟹y=0 e il vincolo diventa 16z²=1 z²=1/16, z=±1/4y=0⟹x=0 e il vincolo diventa z=±1/4.

Problema 2

0≤t≤1 γ(t)=(t,t) ∫_γw con w=Σ₁dx+Σ₂dy+Σ₃dt.

Σ₁=(2x+y+²1+xx²) e^{x²+log(1+xx²)}

Σ₂= x²e^{x²+log(1+xx²)}

Σ₃=2x^1+xx² e^{x²+log(1+xx²)}

Se noi prendiamo U(x,y,t)=e^{x²+log(1+xx²)} allora U= [x²] e^2...) =Σ₂ U - 2x^1+xx² e^... =Σ₃.

Cioè se riesco a far vedere che ∇U= (Σ₁,Σ₂,Σ₃), allora il campo è conservativo -->→ se non vedo subito che U=e^... devo far vedere che è conservativo tramite la definizione, ovvero ∂Σ₂/∂y = ∂Σ₂/∂x ∂Σ₁/∂x = ∂Σ₁/∂z e infine U²=(2x+²1+xx²)e^...=Σ₁→ ora sappiamo che la forma è esatta.

Dunque del teorema \(\int \omega = U(\gamma(1)) - U(\gamma(0))\)

\(\gamma(0) = (0,0,0)\)

\(\gamma(1) = (1,1,1)\)

= U(1,1,1) - U(0,0,0)

U(0,0,0) = \(\lambda\)

U(1,1,1) = 2 + \(\log_2 2\)

\(e^{+\log_2 1} = e^{\log_2 1} = 2e-1\)

Problema 2

\(\omega = \left [ \frac{(x^2-y^2)e^{x^3-3xy^2+y^3}}{e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3 - 3x} \right ] dx + \left [ \frac{y^2+(y^2-2x)y^{x^3-3xy^2+y^3}}{e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3 - 3x} \right ] dy\)

\(\gamma(t) = (\cos t, 1+ \sin t)\) con \(t \in \left [ \frac{\pi}{2}, \pi \right ]\)

Trovo un potenziale \(U\).

\(\frac{dU}{dx}\) \(\rightarrow\) \(\int \frac{(x^2-y^2)e^{x^3-3xy^2+y^3}-1}{e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3 - 3x} dx\)

\(= \frac{1}{3} \left ( \frac{(3x^2-3y^2-3)e^{x^3-3xy^2+y^3}}{e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3-3x} \right )\)

Per \(\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log |f(x)| + c\)

= \(\frac{1}{3}\log \left ( e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^4 - 3x \right ) + g(y)\)

\(\frac{dU}{dy}\) \(\rightarrow\)

\(= \frac{1}{3} \left ( \frac{3(y^2-6x+3y^2)e^{x^3-3xy^2+y^3}}{e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3-3x} \right ) + g(y)\)

Ma \(g'(y) = 0\)

Quindi \(U(\gamma(1)) = \frac{1}{3} \log (e^{x^3-3xy^2+y^3} + y^3-3x\)

\(\gamma \left (\frac{\pi}{2} \right ) = (0, 2)\)

\(\gamma(\pi) = (-1, 1)\)

\(\int \omega = U(\gamma(\pi)) - U(\gamma \left (\frac{\pi}{2} \right )) = \frac{1}{3} \log (e^{3}+4) - \frac{1}{3} \log (e^8+8) - \log N^3 e^3+4 - \log N^3 e^8+8 = \log N e^4+8\)

Problema 2

S= { (x,y,z) ℝ³ | (x+4y)² + 16z² -1 = 0 }

P₀ = (0,0,0)

f(x,y,z) = x² + y² + z²

∇f = (2x, 2y, 2z)

∇ = (2(x+4y)(2), 2(x+4y)(4), 32z)

2x = [4(x+4y)] → moltiplico per y

2y = [4y(x+4y)] → moltiplico per x

…x --> x = 0 ⇒ y = 0 Il vincolo diventa 16z² = 1 → z² = 1/16 → z = ± 1/4

y --> y = 0 ⇒ x = 0 Il vincolo diventa z = ± 1/4

Problema 3

S = { (x,y,z) ϵ ℝ³ | (x,y) ϵ ℝ² , z = e^{-(x²+ y²)} }

f_x = e^-(x²+y²) (-2x)

f_y = e^-(x²+y²) (-2y)

z f(x,y) = 1/4…z = (1/2 - √log2) (x - √log2) + (1/2 + √log2) (y + √log2)= 1/4 - √log2 (x - √log2) + √log2 (y + √log2)

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