Esercizi svolti Analisi Matematica 2

Analisi 2

Warm-up n. 18 Novembre, 2010

Prof. N. Garofalo

Nome............................................. Matricola n. ............................................

Per ottenere credito, anche parziale, si devono giustificare le proprie risposte. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta.

Problema 1

Dato il campo di forze centrale F: Rⁿ ⋲ {0} → Rⁿ definito da F(x) = x / |x|(1 + |x|)², determinarne un potenziale U(x).

Problema 2

Discutere gli eventuali punti critici della funzione f : R³ → R definita da f(x, y, z) = xy² + x²z + z² - 2y.

In quale di essi f ha un max o min relativo, o assoluto?

Problema 3

(a) Dimostrare che se f : Rⁿ → R è la funzione definita da f(x) = { (|x|² - 1)² log |x|² - 1 ,   |x| ≠ 1 ,    0,  |x| = 1, allora f ∈ C¹(Rⁿ, R). (N.B.: Si faccia attenzione al fatto che qui si richiede di dimostrare la continuità della f e delle sue derivate parziali prime anche in ogni punto della sfera unitaria S(0,1) = {x ∈ Rⁿ | |x| = 1}).

(b) Dire se è vero o meno che f ∈ C²(Rⁿ, R).

Problema 4

Si consideri la funzione f : R² → R definita da f(x, y) = sin   sin ( y + π / 4 ).

Si consideri l'insieme aperto Ω = (0, π) × (0, π). Calcolare il massimo e minimo assoluto di f sull’insieme chiuso e limitato cl Ω = [0, π] × [0, π]. Determinare i punti (o gli insiemi di punti) dove tali valori vengono assunti.

Analisi 2

Warm-up n. 18 Novembre, 2010

Prof. N. Garofalo

Nome.......................................... Matricola n. ............................................

Per ottenere credito, anche parziale, si devono giustificare le proprie risposte. Svolgere i propri calcoli su fogli a parte e riportare sui fogli del compito solo i calcoli necessari a giustificare la risposta.

Problema 1

Dato il campo di forze centrale \( F : \mathbb{R}^n \setminus \{0\} \to \mathbb{R}^n \) definito da \( F(x) = \frac{x}{|x|(1 + |x|^2)^2} \), determinarne un potenziale \( U(x) \).

Problema 2

Discutere gli eventuali punti critici della funzione \( f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R} \) definita da \( f(x, y, z) = xy^2 + x^2 z + z^2 - 2y \).

In quale di essi \( f \) ha un max o min relativo, o assoluto?

Problema 3

(a) Dimostrare che se \( f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) è la funzione definita da \( f(x) = \begin{cases}(|x|^2 - 1)^2 \log |x|^2 - 1, & |x| \neq 1 \\ 0, & |x| = 1\end{cases} \), allora \( f \in C^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}) \). (N.B.: Si faccia attenzione al fatto che qui si richiede di dimostrare la continuità della \( f \) e delle sue derivate parziali prime anche in ogni punto della sfera unitaria \( S(0, 1) = \{x \in \mathbb{R}^n | |x| = 1 \}) \).

(b) Dire se è vero o meno che \( f \in C^2(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}) \).

Problema 4

Si consideri la funzione \( f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) definita da \( f(x, y) = \sin x \sin \left( y + \frac{\pi}{4} \right) \).

Si consideri l'insieme aperto \( \Omega = (0, \pi) \times (0, \pi) \). Calcolare il massimo e minimo assoluto di \( f \) sull'insieme chiuso e limitato \( \overline{\Omega} = [0, \pi] \times [0, \pi] \). Determinare i punti (o gli insiemi di punti) dove tali valori vengono assunti.

2

Problema 5

Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume assegnato V e di superficie di area minima.

Problema 6

(a) Determinare gli eventuali punti critici della funzione f(x, y) = xe^-(x2+y2).

(b) Determinare gli eventuali massimi e minimi (assoluti o relativi) della f.

Problema 7

Calcolare il lavoro W_γ^F del campo di forze F(x) = ^sin2|x|/_|x|x, x ∈ Rⁿ \ {0}, lungo la curva γ : [0,1] → R ⁿ definita da γ(t) = (4 - t, t², t³, ..., tⁿ), 0 ≤ t ≤ 1.

Si assuma che la dimensione dello spazio sia n = 8.

Problema 8

Dire se il campo di forze F : R ³ → R ³ dato da F(x, y, z) = (2xy - 2z)i + (2yz + x²)j + (y² - 2xz)k, è conservativo oppure no. In caso affermativo se ne determini il potenziale generale.

Problema 9

Si consideri la forma differenziale ω = (y cos(xy) - sin x) dx + x cos(xy) dy.

Calcolare l'integrale curvilineo ∫ω, dove γ(t) = (2 cos t, 3 sin t), 0 ≤ t ≤ 2π.

Problema 10

Dire se il campo F : R ³ → R ³ definito da F(x, y, z) = (^π/₂ sin(πy), x² cos(πy) - 2ye^-y, y²e^-z), è conservativo. Calcolare il lavoro W_γ^F dove:

(1) γ(t) = (cos t, sin(2t), sin² t), 0 ≤ t ≤ 2π;

(2) γ è la curva d'intersezione del paraboloide x = z² + 4y² con il piano z = 3x - 2y.

Problema 11

Si consideri la funzione f : Rⁿ → R definita da f(x) = |x|^5/2cos (¹/_|x|), x ≠ 0, 0, x = 0.

Dire se esiste o meno ∇f(0) (e se esiste determinarlo). Dire se f ∈ C¹(Rⁿ), e se f ∈ C²(Rⁿ).

Problema 12

Dire se il campo di forze Φ(x) = |x| log(1 + |x|²)x, x ∈ Rⁿ, è conservativo e, in caso affermativo, determinarne il potenziale generale.

Problema 13

Sia f : R² → R la funzione f(x, y) = (xy²(x²−y))/(3x⁴−x²y²) se (x, y) ≠ (0, 0), 0 se (x, y) = (0, 0).

Quali delle seguenti affermazioni sono vere:

• A. f_xy(0,0) = 0, f_yx(0,0) = 1/3
• B. f ∈ C²(R²)
• C. Non esistono f_xy(0,0), f_yx(0,0)
• D. f_xy(0,0) = 0 = f_yx(0,0)
• E. f ∈ C¹(R²) ma f ∉ C²(R²)

Problema 14

Calcolare la lunghezza della curva γ(t) = (a cos t sin t, a sin² t, bt), 0 ≤ t ≤ 1.

Problema 15

Parametrizzare la curva d'intersezione delle superfici (si noti che non esiste una risposta univoca):

• X² + y² = 9 e z = x + y.
• Yz + x = 1 e xz = 1.
• Z = x² + y² e 2x − 4y − z = 1.

Di quali di queste curve riuscite a calcolare la lunghezza?

Problema 3

f: R → R

f(t) = { (t²-1)² log |t²-1| t ≠ 1           0 t = 1

(a)

Per cominciare, f è derivata prima?

lim _t→1 (f(t) - f(1))/(t - 1) = ...

Abbiamo appena dimostrato che f'(1) = 0

f'(t) = ... t ≠ 1

Ora, affinché sia di classe C' deve tendere a zero quando t → 1 → la derivata seconda non esiste in t = 1 → non può essere di classe C²

Problema 1

U(x) = ∫ x / |x| (1+|x|x²)² ... = -1/2 x(1+|x|x²)^-2

Problema 9

w = (ycos(xy) - sinx) dx + xcos(xy) dy → bisognerebbe guardare subito la curva e vedere che è chiusa       ma faccio i passaggi 1ª cosa: vedo che df₁/dy = df₂/dx 2ª cosa: potenziale:

dU/dx = ycos(xy)-sinx → ∫ ycos(xy) - sinx = sen(xy) + cos x + g(y)

dU/dy = xcos(xy) = cos(x)y x + g(y) ma allora g'(y) = 0

Warm up-3

Dunque U(x,y) = sen(x+y)+cosx

Ora γ(0)=(2,0) e γ(2π)=(2,0)

Ma allora ∫_γω = 0

Problema 13

f(x,y) = ^xy[x2-xy]/_3x²+2y²(x,y) ≠ (0,0) = ^3xy-x2y2/_3x²+2y²(x,y)=(0,0)

Vedo se è di classe C¹

lim_x→0 ^{f(x,0)-f(0,0)}/_x = 0

Quindi è di classe C¹

Vedo se è di classe C²

f_yx(0,0) = lim_x→0 ^{f_y(x,0)-f_y(0,0)}/_x = ¹/_{x ³} ma lim_x→0 ¹/_x = ∞

f_xy(0,0) = lim_y→0 ^{f_x(0,y)-f_x(0,0)}/_y = ¹/_{y ³} - ⁴/_{y ⁴} ma lim_y→0 ¹/_y = ∞

Non sono continue nell'origine ⊄ C²

Warm up

Problema 10

F: ℝ³ → ℝ³, F(x,y,z) = ⟨ ^π/₂ x²sen(πy), x²cos(πy)-2y e^-z, y e^-z ⟩ → condizione necessaria ma non sufficiente è che il campo sia irrotazionale

Vediamo condizioni affinché sia irrotazionale

^∂F₂/_∂y = ^∂F₁/_∂x

^π/₂ x cos(πy) ≠ 2 x cos(πy) se basta una è diversa e il campo non è conservativo

^∂F₃/_∂z = ^∂F₂/_∂x 2y e^-z 2y e^-z

^∂F₁/_∂z = ∂F₃/_∂x 0 = 0

Vediamo di fare in modo che sia conservativo

^aπ²/₂ cos(πy) = 2 x cos(πy)

aπ²/2 a = ⁴/_π² F₁ lo riscrivo ora posso procedere (1)

W⁴ F(t) = (w(t), 2π(1∥2πt), 2∥πt)0< t < 2π t→ siccome il campo F è conservativo allora ∇V = F e quindi W_s = U([0][2π]) - U([0][1])

Ci manca U, cos’è? sappiamo solo che esista le tre proprietà U_x = F₁ U_x = ^π/₂ x sen(πy)

U_y = F₂ U_y = x² cos(πy) - 2y e^-z

U_z = F₃ U_z = y e^-z

→ dobbiamo calcolare l’integrale di giro

Cominciamo con la più semplice U(x,y,z) = ∫ y e^-z dz + h(x,y)

→ - ∫ y e^-z + h(x,y)

Prendo U_x = ^π/₂ x sen(πy)

h(x,y)_x = ^π/₂ x sen(πy) + f(y)

Perché sto facendo la y fissata e derivando rispetto a x

Ora metto dentro

U(x,y,z) = - y e^-z + ¹/_u x² sen(πy) + f(y)

Questa