Esercizi svolti Analisi Matematica 2

Fond. Anal. Matemat. 2

Preparazione allo scritto n. 2

14 Gennaio, 2017 Prof. N. Garofalo

Cari studenti, vi auguro un sereno e proficuo 2017!

Troverete qui sotto un warm-up che dovrebbe servire a prepararvi al secondo scritto che si terrà Giovedì 26 Gennaio 2017.

Problema 1

Il volume del cilindroide circolare retto compreso fra il disco chiuso Ω = {(x, y) ∈ R² | (x – 1)² + y² ≤ 1} e l’emisfera x² + y² + z² = 4, con z ≥ 0, è dato da

• 16^(₂/3) π^7_π/₃4 - ^7_π/₃^7_π/₃ - 2

Problema 2

Il volume del solido, ottenuto intersecando l’ellissoide-x² + y² = 1,   con   a > 1,a²   x² + y² ≤ 1    con il cilindro {(x, y, z) ∈ R³ | x² + y² ≤ 1}, è dato da

• 4^_2a3[1 - (1 - ¹/_a²)³/8]^4_π/₃4^3_π/₃4³⁴/_πa²

Problema 3

Calcolare ∫∫ log(1 + x²) dx dy, dove D è la regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = x³, quello della funzione y = ¹/_x, l’asse delle x e la retta x = √2.

Problema 4

Siano a, b > 0 assegnati. Il volume del cilindroide di altezza 1 avente come base l’insieme Ω = { (x, y) ∈ R² | ^x2/_a² + ^y2/_b² ≤ 1 , y ≥ ^b/_a|x| }, è dato da

• ^2π/₃ a²b³/₄ abπ

Fond. Anal. Matemat. 2

Preparazione allo scritto n. 2

14 Gennaio, 2017 Prof. N. Garofalo

Cari studenti, vi auguro un sereno e proficuo 2017!

Troverete qui sotto un warm-up che dovrebbe servire a prepararvi al secondo scritto che si terrà Giovedì 26 Gennaio 2017.

Problema 1

Il volume del cilindroide circolare retto compreso fra il disco chiuso Ω = {(x, y) ∈ ℝ² | (x – 1)² + y² ≤ 1} e l’emisfera x² + y² + z² = 4, con z ≥ 0, è dato da

• A. ^π/₂
• B. ¹⁶/₃ (2^1/2 - 1)
• C. 4 – ³/₅ π
• D. 4 – ³/₂ π
• E. ³/₄ π – 2

Problema 2

Il volume del solido, ottenuto intersecando l’ellissoide x²/a² + y² + z² = 1, con a > 1, con il cilindro {(x, y, z) ∈ ℝ³ | x² + y² ≤ 1}, è dato da

• A. ^4πa2/₃ [ 1 – ( 1 – ¹/_a²)^3/2]
• B. ⁴/₃ π
• C. ⁴/₃ π³
• D. ⁴/₃ π
• E. ³/₄ πa²

Problema 3

Calcolare ∬_D log(1 + x²) dx dy, dove D è la regione di piano compresa tra il grafico della funzione y = x³, quello della funzione y = ¹/_x², l’asse delle x e la retta x = √2.

Problema 4

Siano a, b > 0 assegnati. Il volume del cilindroide di altezza 1 avente come base l’insieme Ω = { (x, y) ∈ ℝ² | ^x2/_a² + ^y2/_b² ≤ 1 , y ≥ ^b/_a |x| }, è dato da

• A. ^2π/₃ a²b
• B. ³/₄ abπ
• C. ^π⁄₄ ab
• D. ³⁄₄ ab
• E. ¹⁄₄ ab

Problema 5

Il volume della regione solida ottenuta intersecando il cilindro \(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}³ | x² + y² \leq 1, 0 \leq z \leq 3\}\) con il semispazio \(\{(x, y, z) \in \mathbb{R}³ | y \geq x\}\) è dato da

• A. ^3π⁄₈
• B. ¹⁵⁄₁₆ \((3 - \sqrt{2})\)
• C. ⁵⁄₃ π
• D. ⁵⁄₈ π
• E. ⁵⁄₁₆ π

Problema 6

Sia \(K_R\) il solido di rivoluzione in \(\mathbb{R}³\) ottenuto ruotando attorno all'asse delle \(x\) la curva di equazione \(y = \sqrt{xe^-x}\), con \(0 \leq x \leq R\). Allora \(\lim_{{R \to \infty}} \text{Vol}_{3}(K_R) =\)

• A. \(\frac{\sqrt{π}}{2}\)
• B. \(\frac{3}{4}\)
• C. \(\frac{π}{4}\)
• D. \(\frac{3π}{4}\)
• E. \(\frac{3}{4} [e^-2 + 2]\)

Problema 7

Sia \(K\) un cono circolare retto in \(\mathbb{R}⁵\) di altezza \(h\) e raggio di base \(r\). Allora \(\text{Vol}_{5}(K) =\)

• A. \(\frac{π²}{5} h⁴\)
• B. \(\frac{5}{4} hr⁴\)
• C. \(\frac{3}{5} hr⁴\)
• D. \(\frac{π}{10} h r⁴\)
• E. \(\frac{π²}{10} h r⁴\)

Problema 8

Il volume del solido di rivoluzione ottenuto ruotando attorno all'asse delle \(x\) la curva di equazione \(y = x \sqrt{\log x}\), con \(1 \leq x \leq e\), è

Problema 9

Si consideri il tronco di paraboloide in ₅

• A. ³/₄ℎ⁵/3
• B. ³/₄ ℎ₅
• C. ℎ⁵
• D. ²/₃ ℎ₅
• E. ²/₄ ℎ₄

Problema 10

Per R > 0 fissato si consideri l'insieme Allora la coordinata

• A. z_B = ⁵/₈ ( ^5/π/₈ - ⁵/_R) R
• B. z_B = ⁶⁴/₅ ( ^5/π/₈ - ⁵/_R) R
• C. z_B = ⁶⁴/₅ ( ^5/π/₃ - ⁵/_R) R
• D. z_B = ⁵/₃₂ ( ^5/π/₃ - ⁵/_R) R
• E. z_B = ⁶⁴/₅ ( ⁵/_R ) R

Soluzione

Osserviamo preliminarmente che dove Se consideriamo le coordinate cilindriche in ₃ aventi la retta ²/₂ | &R: come asse di simmetria cilindrica allora L'insieme \(K^+\) si può ora descrivere come \(\Phi(\Omega)\), dove \(\Omega = \{ (r, \varphi, z)  |  0 La formula del cambiamento di variabile dà allora

(1) \[\quad 2 \text{Vol}_3(K^+) = 2 \int_K x \, dz \, dy \, dx = 2 \int r \, dr \, d \varphi \, dz = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{R \cos \varphi} \left( \int_0^{\sqrt{R^2-r^2}} \frac{}{} dz \right) r \, dr \, d \varphi\] \(= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{R \cos \varphi} r \sqrt{R^2 - r^2} \, dr \, d \varphi = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left[ -\frac{1}{3} (R^2 - r^2)^{\frac{3}{2}} \right]_0^{R \cos \varphi} d \varphi \)

\(= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{}{} \cos^3 \varphi \, \frac{\sin^2 \varphi}{\sqrt{1 - u}} du \, d \varphi = \frac{2}{3} \int_0^{R^3} \sin^3 \varphi \, d \varphi = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} R^3 \sin^3 \varphi d \varphi \)

\(= 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} R^3 \int_0^3 (1 - \cos^3 \varphi) \sin \, d \varphi = \left( \frac{\pi}{3} \frac{}{} 4 \right) R^3\). In modo analogo si ottiene

(2) \[\int_K x \, dz \, dy \, dx = 2 \, \int_K x \, dz \, dy \, dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{R \cos \varphi} \int_0^{\sqrt{R^2-r^2}} dz \, r \, dr \, d \varphi\]

\(= \frac{\pi}{8} \, R^4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 \varphi d \varphi = \frac{5}{64} R^4\).

In conclusione, da (1) e (2) otteniamo \[z_B = \frac{5 \pi}{64(\frac{3}{5})} R \], quindi la risposta corretta è la B.

Problema 11

Sia \(R > 0\) fissato. Si calcoli la coordinata \(z_B\) del baricentro del cono gelato \(K = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 |  z > \sqrt{x^2 + y^2}, x^2 + y^2 + z^2

• \( z_B = \frac{3 \pi}{8(2-\sqrt{2})} R \)
• \( z_B = \frac{3 \pi}{8(2+\sqrt{2})} R \)
• \( z_B = \frac{3}{8}\sqrt{2}R \)
• \( z_B = \frac{3}{2 \sqrt{3}} R \)
• \( z_B = \frac{2}{2(1-\sqrt{2})} R \)

Problema 12

Sia \(R > 0\) fissato e si consideri la palla \(B(0, R) = \{(x, x_5) \in \mathbb{R}^5 | |x|^2 + x_5^2 \leq R^2 \}\), dove s'è posto \(x = (x_1, x_2, x_3, x_4)\). Fissato un numero \(0 \(K = \{(x, x_5) \in B(0, R) | -aR \leq x_5 \leq aR \}\). Quale delle seguenti formule rappresenta il \(\text{Vol}_5(K)\)?

• A. π² ( a + a⁴ - ^2a2/₃ ) R⁵
• B. π² ( 2a + ^2a5/₅ - ^4a3/₅ ) R⁵
• C. π² ( a + ⁵/₅ - ^2a3/₅ )³ R⁵
• D. π² ( a + ^{55/₅ - 4a3/₃ ) R5}
• E. π² ( a - ^{a5/₅ + 2a3/₃ ) R5}

Warm up

Problema 1

Ω = {(x,y) ∈ ℝ² | (x-y)² + y⁴ ≤ 1}

Si fa per spicchi.

x² + y⁴ + z² = 4 z = √(4-x²-y⁴)

Vol₂ₖ (K) = ∫√(4-x²-y⁴) dx dy == 3∫√4-x²-y⁴ dx dy

Ω+ = {(r,θ)| 0≤θ≤π, 0≤r≤2cosθ}

x² + 1 - x² + y² = r² - 2rcosθ = 0

Sostituisco (u = 4-r)

du = -2rdr k = 2cosθ

k = 0 r = 4+2cosθ = 4 - 4cos2θ

k = 2cosθ r = 4secθ

∬₀² π log(1+x²²) dx dy

∫₀² 8(1-2cos³θ)dθ = 16/3∫₀² (π/2 - 2/3)

Problema 3

D: {(x,y) ∈ ℝ² | y = x³, y = 1/x², x = √2}

x³ = 1/x x³ = 1 dunque x = 1

∫₀² log(1+x²) dx dy + ∫D log(1+x²) dx dy

∫₀¹ x³log(1+x²) dx dy = ∫₁² x³log(1+x²) dx

Sostituzione u = 1+x² du = 2x dx

I nuovi estremi di integrazione sono x=0 e x=1

f(μ, u) → f(μ) = μ^1/2₀

Problema 4

a,b > 0 Ω = {x,y| ∈ℝ² | ^x²/_a² + ^y²/_b² ≤ 1, y ≥ b|x|}

1^a cosa: riconoscere il dominio

In coordinate ellittiche con estremi dati da: (p_sen2d)² + (p_sen2d)² ≤ Λbρ ≥ a ≥ b|ρ_cos1b > 0, ρ > 0

Quindi V =

Warm up

Problema 2

Ellissoide x² + y² + z² = 1 con a > 1

Cilindro coordinate ellissoidali

• x = aρsenθcosφ
• y = bρsenθsenφ
• z = cρcosθ

0 < φ < 2π

0 < θ < π

0 < ρ < ∞

Jacobiano = abcρ²senθ

L'ellissoide in coordinate ellissoidali diventa a²ρ²sen²θcos²φ + a²ρ²sen²θsen²φ + c²ρ²cos²θ = 1

c = 1    a = b

ρ²(sen²θcos²φ + sen²θsen²φ) + c²ρ²cos²θ = 1

ρ²(sen²θ(cos²φ + sen²φ)) + c²ρ²cos²θ = 1

ρ²sen²θ + ρ²cos²θ = 1

ρ² = 10 < ρ < 1     vale sempre     0 < φ < 2π

Il cilindro in coordinate ellissoidali diventa a²ρ²sen²θcos²φ + b²ρ²sen²θsen²φ ≤ 1

a = b

a²(ρ²sen²θ(cos²φ + sen²φ)) ≤ 1

a²ρ²sen²θ ≤ 1 poichè a > 1 ⊕ e ρ > 0 ⊕

Allora ρsenθ ≤ 1 e ciò avviene quando     0 < θ < π / 2

Una volta trovato il nuovo dominio FD, allora ∫ abcρ²senθ dρdθdφ = abc∫ ρ²senθ dφdθdρ

= abc ∫₀¹ρ²dρ∫₀^πsenθ dφ ∫₀^π/2dφ = abcπ∫₀^π/2ρ²senθdφdθ

= abcπ∫₀^π/2ρ²dφ [-cosθ]₀^π/2 = abcπ∫₀¹ρ²dρ = abcπ[ρ³/3]₀¹ = abcπ/3 = a²π/3