Esercizi Probabilità e Statistica

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Revisionato il 08/07/2026

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Esercizi di preparazione all'esame di Probabilità del Prof. Ernesto De Vito.Il file comprende:-tutte le prove di esame degli anni precedenti risolte;-numerosi esercizi risolti del …

Esame Probabilità e Statistica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. De Vito Ernesto

Università Università degli studi di Genova

A.A. 2021-2022

148 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Simulazione del 16/12/2021

Esercizio n^o 1

Date X e Y distribuzioni congiunte

XY	0	1	P[X = x]
0	a		1/2
1		a	1/2
P[Y = y]			1

Completare la tabella determinando quali sono i valori di a ammissibili (la tabella deve essere una distribuzione di probabilità).
- a + 6e) z = 1
- (a + b) z = 1
- a = ₁⁄₂ - b
- b = ₁⁄₂ - a
Determinare per quali a le variabili X e Y sono indipendenti. Indipendenza per: F_xy(xy) = F_x(x) · F_y(y).
Per a = ₁⁄₃ calcolare E[Y] condizionata da X = 1.

Simulazione del 16/12/2021

Esercizio n° 1

Date X e Y distribuzioni congiunte

XY\Y	0	1	P[X=x]
0	a	?	1/2
1	?	a	1/2
P[Y=y]	?	?	1

Completare la tabella, determinando quali sono i valori di a ammissibili (la tabella deve essere una distribuzione di probabilità).
- a + 2b = 1
- (a + b) · 2 = 1
- a = ¹/₂ - b
- 2a = 1 - 2b
- b = ¹/₂ - a
- 2b = 1 - a
- b = ¹/₂
Determinare per quali a le variabili X e Y sono indipendenti. Indipendenza per: F_xy(x, y) = F_x(x) · F_y(y).
- F_xy(0, 0) = F_x(0) · F_y(0) = ¹/₂ · ¹/₂ verificata per a = ¹/₄
- F_xy(0, 1) = F_x(0) · F_y(1) = ¹/₂ = ¹/₂ · ¹/₂ · a = ¹/₄ = ¹/₂
Per a = ¹/₃ calcolare E[Y] condizionato a X=1.
If [Y|X=1] = 0 · P[Y=0|X=1] + ... = ²/₅ = ¹/₂
Per α = ¹⁄₃ calcolare speranza di ln ^(X+1)⁄_1+Y².
E [ln ^(X+1)⁄_1+Y²] = ∑_k E [X | Y= y_k] = ∑_k X P [X=x | Y=a_k] = ∑_x,y=0,1 ln ^(X+1)⁄_1+Y² P [X=x, Y=y_j] == ln (z) 1 ⁄ 1 P [X=1, Y=0] + ln (z) ⁄ 2 P [X=1, Y=1] == ln (z) ⁄ 6 + ln (z) ⁄ 3 = ln (z) ⁄ 6 + ln (z) ⁄ 6 = ln (z) ⁄ 3.
Per α = ¹⁄₃ calcolare il coeff. di correlazione di X e Y.
_x,y = ^COV[X,Y]⁄_{VAR[X].VAR[Y]} = ^COV[X,Y]⁄σ_x.σ_y. COV[X,Y] = E[XY] - E[X].E[Y]. E[X] = ¹⁄₂ e E[Y] = ¹⁄₂ → E[X,Y] = ¹⁄₃ → COV[X,Y] = ¹⁄₃ - ¹⁄₄ = ¹⁄₁₂.

VAR[X] = E[x²] - E[x]² = 1^{2 * 1}⁄₂ - (1 - ¹⁄₂) ² ¹⁄₂ - ¹⁄₄ = ¹⁄₄ .VAR[Y] = E[Y²] - E[Y]² = ¹⁄₄.

_xy = ^COV[X,Y]⁄_{VAR[X].VAR[Y]} = ¹⁄₁₂ = ¹⁄₁₂ ¹⁄₁₂ = ¹⁄₃.

Esercizio n. 2

Siano X e Y variabili aleatorie indipendenti tali che X ~ U_[-1,2] e Y ha densità:

f_Y(y) = { c(1-|y|) |y| ≤ 1 0 |y| > 1

Determinare c in modo che f_Y sia distribuzione.
a = ∫_-1¹(c(1-|y|)dy = ∫_-1¹c(1-|y|)dy = [⋯] = 2c ⋅ [⋯] = 1
Calcolare P[X>0] e P[Y0] = ∫₀² ¹⁄

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