Esercizi gravitazione e fluidi

Esercizi gravitazione e fluidi

4. Gravitazione

Un pianeta di recente scoperta ha un'accelerazione di gravità sulla sua superficie pari a quella terrestre, ma una densità media doppia di quella della Terra. Approssimando il pianeta e la Terra a delle sfere omogenee, si calcoli il rapporto tra il raggio del pianeta e quello della Terra e tra la massa del pianeta e quella terrestre.

Soluzione

Esprimiamo l'accelerazione di gravità per mezzo della legge di gravitazione e la densità con le masse dei pianeti, poi facciamo semplificazioni algebriche:

(Gm_T/R_T²) = (Gm_p/R_p²);

2(m_T/(4/3piR_T³)) = (m_p/(4/3piR_p³));

m_T/R_T² = m_p/R_p²;

2m_T/R_T³ = m_p/R_p³;

R_p/R_T = 1/2;

m_p/m_T = 1/4

Densità p = m/V = m/(4/3piR³)

Volume della sfera = 4/3piR³

F = GmM/R² = m G M/R² => g = GM/R²

2m_T/R_T² . 1/R_T = m_p . 1/R_p² . 1/R_p => 2/R_T = 1/R_p => R_p/R_T = 1/2

m_T/R_T² = m_p/R_p² => m_p/m_T = R_p²/R_T² = (R_p/R_T)² = (1/2)² = 1/4

Nel caso la densità sia metà si ha:

R_p/R_T = 2 ; m_p/m_T = 4

2675. Statica dei fluidi

Un cubo di ferro (densità rho_Fe = 7.86 g/cm³) di lato 0.5 m, viene collocato in una grande vasca di mercurio (densità rho_Hg = 13.63 g/cm³). Il cubetto affonda o galleggia (si giustifichi la risposta) ? Se galleggiasse, mantenendosi parallelo al piano orizzontale, quale sarebbe la distanza tra la superficie del mercurio e la faccia inferiore del cubo?

Soluzione

• A) Il cubo galleggia poiché la densità del ferro è minore di quella del mercurio, e pertanto la spinta di Archimede su tutto il cubo è maggiore della forza peso;
• B) La parte immersa del cubo è tale che la forza di Archimede è uguale alla forza peso; chiamiamo s la distanza tra superficie del mercurio e superficie inferiore del cubo:

rho_Fed³g → rho_Hgd²sg  →  s = d rho_Fe/rho_Hg = 28.8 cm.

Massa del ferro = rho_FeV_ferro = rho_Fed³.

Massa di metallo "spostato" = rho_Hgd²s

mg = S_A → rho_Fed³g = rho_Hgd²sg → s = d rho_Fe/rho_Hg

• (A) d = 0.5 m → s = 28.8 cm
• (B) d = 0.25 m → s = 14.4 cm
• (C) d = 0.40 m → s = 23.0 cm
• (D) d = 0.25 m → s = 14.4 cm