Esercizi gravitazione e fluidi

esercizi gravitazione e fluidi

esercizi gravitazione e fluidi

4. Gravitazione.

Un pianeta di recente scoperta ha un'accelerazione di gravità sulla sua superficie pari a quella terrestre, ma una densità media doppia di quella della terra. Approssimando il pianeta e la Terra a delle sfere omogenee, si calcoli il rapporto tra il raggio del pianeta e quello della Terra e tra la massa del pianeta e quella terrestre.

Soluzione:

Esprimiamo l'accelerazione di gravità per mezzo della legge di gravitazione e la densità con le masse dei pianeti, poi facciamo semplificazioni algebriche:

[ _{gTERRA = gPIANETA} ]

^m_T/_RT² = ^m_P/_RP²,

2^m_T/_RT³ = ^m_P/_RP³,

R_P/R_T = 1/2,

m_P/m_T = 1/4

• Densità: ρ = m/V = w/⁴/₃πR³

[ Volume della sfera = ⁴/₃πR³ ]

• F = C m₁M/R² => g = G M/R²

• 2^m_T/_RT² * 1/R_T = m_P/R_P² * 1/R_P => 2/R_T = 1/R_P => R_P/R_T = 1/2

• w_T/R_T² = w_P/R_P² => w_P/m_T = R_P²/R_T² = ( (R_P/R_T)² = ( 1/2 )² = 1/4

• Nel caso la densità sia metà si ha: R_P/R_T = 2, w_P/m_T = 4

5. Statica dei Fluidi.

Un cubo di ferro (densità ρ_Fe = 7.86 g/cm³) di lato 0.5 m, viene collocato in una grande vasca di mercurio (densità ρ_Hg = 13.63 g/cm³). Il cubetto affonda o galleggia (si giustifichi la risposta) ? Se galleggiasse, mantenendosi parallelo al piano orizzontale, quale sarebbe la distanza tra la superficie del mercurio e la faccia inferiore del cubo ?

Soluzione

1. il cubo galleggia poiché la densità del ferro è minore di quella del mercurio, e pertanto la spinta di Archimede su tutto il cubo è maggiore della forza peso;
2. la parte immersa del cubo è tale che la forza di Archimede è uguale alla forza peso; chiamiamo s la distanza tra superficie del mercurio e superficie inferiore del cubo:

   ρ_Fed³g = ρ_Hgd²sg ⇒ s = d ρ_Fe/ρ_Hg = 28.8 cm.

[volume cubo = d³]

• massa del ferro = ρ_FeV_Fee,llo = ∫ρ_Fed³
• massa di mercurio "spostato" = ρ_Hgd²s

m_g = S_A ⇒ ∫ρ_Fed³ · g = ρ_Hgd²sg ⇒ s = d ρ_Fe/ρ_Hg

1. d = 6.5 u ⇒ s = 28.8 cm
2. d = 0.25 u ⇒ s = 14.4 cm
3. d = 6.4 cm ⇒ s = 23.0 cm
4. d = 0.25 u ⇒ s = 14.4 cm

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