Esercizi generali di Analisi 1

ES1

x(1 - 3x) < 1 + x²|x| → da valori positivi ma non sappiamo cosa sia - unione dei due casi

Condizioni d'esistenza

C.E. x ≠ 0

• Caso x > 0
• 1 - 3x < 1 + x²
• x(x + 3) > 0 → parabola con concavità verso l'alto
• x > 3 ∪ x < 0
• Caso x < 0
• -1(1 - 3x) < 1 + x²
• -x² - 3x + 2 > 0
• x > 2 ∪ x < 1
• x < 1 ∪ x > 2
• Il sistema indica intersezione

Unione tra le due di quella di 2: x > 0 ∪ x < 0

Soluzioni: ℝ\{0}

ES 2

|x + 2| ≤ |x| + 4

Si può risolvere anche attraverso il grafico

|x + 2|

Retta y = x + 2 x > 0

Retta y = -(x + 2) x < 0

|x| + 1 → traslata di 1

Soluzioni x ≤ -1/2

Se no 3 casi:

• -2 ≤ x ≤ 0 ∪ x > 0
• x + 2 ≤ x + 4
• -2 ≤ x ≤ 0 ∪ x ≤ 0 ∪ x ≤ 2
• x + 2 ≤ -x + 4
• -x - 2 ≤ -x + 4

ES. 1

x(1 - 3x) 2|x| -- valori positivi ma non sappiamo cosa sia - Unione dei due casi

• Caso x > 0

1 - 3x 2x -1(1 - 3x) 2

• Caso x > 0

x(x + 3) > 0

Parabola con concavità verso l'alto

x 0

x x² - 3x + 2 > 0

x 1

Unione tra le due soluzioni di quella di 2

x > 0

x Soluzioni: ℝ \ {0}

ES. 2

|x + 2| ≤ |x| + 4

Si può risolvere anche attraverso il grafico

|x + 2| retta y = x + 2 x > 0 retta y = -(x + 2) x |x| + 4 traslata di 1

Soluzioni: x ≤ -1/2

Se no 3 casi:

• x ≥ 0
• x + 2 ≤ x + 4
• -2 ≤ x ≤ 0
• x + 2 ≤ -x + 4
• x -x - 2 ≤ -x + 4

Visto che sono entrambe positive → elevare al 2° così tolgo il valore assoluto

(|x+2|)² ≤ (|x1 1|)²

(|x1 1|)² = (|x+2|)²

x²+4x + 4x ≤ x² 2 2 |x| 1 12x-|x| 3 ⁄ 2 ≤ 0

{ x ≥ 02x-x-3 ⁄ 2 ≤ 0   ∪{ x < 02x+x 3 ⁄ 2 ≤ 0

{ x ≥ 0   ∪   x ≤ -4 ⁄ 2x ≤ -3 ⁄ 2

∅   ∪   x ≤ -1 ⁄ 2

Soluzione   xε[-1⁄₂]

Es 3

&fracl;&lsqb; 2x-1 &rsqb;&rsqb;____ ≥ 2&fracl;&lsqb; 1-x &rsqb;&rsqb; → C.E.   X un numero l si può cambiare segno al numero

&fracl;&lsqb; 2x-1 < -2 &rsqb;&rsqb;&lnearr; X > 2

&equals;&equals;&equals; &vert;&fracl;&lsqb; 2 x-1⁺ 2&rsqb;1-x______ ≤ 0

&par;&fracl;&lsqb; 2x-4-2 2x ≥ 0 _______ <= τ⁄&lsqb;1-x&GPIO;&par;4x-3 ≥ 0____&fras;l&lsqb; 1-x&lsqb;' 3x > 1   ∪   4 ≤ x < 1

Soluzione x^≥3 ⁄ ₄ e x#1&lsqb;3 ⁄₄&rsqb; ∪ &lsqb;$ll→Modolo di un modulo → studi tutti i casi e primitive liberi dei primo poi usati 2°

Es. 4

1 < (1 ⁄₃)^5x+1 ≤ 9

Sotto la radice metti sempre qualcosa di positivo no

1° 5x+4/_(4/3)

5x+4 ≤ 9

(4/3) ^(1/3) ≤ (1/3) 5x+4

5x+4 ≤ (4/3) ^-2

5x+4 x > 3/15

Soluzione: -3/5 ≤ x ≤ -4/5

ES 5

|x| - 1 ≥ x + 2

C.E. |x| - 1 ≥ 0

|x| ≥ 4

Due casi:

• |x-4| ≥ x+2
• Positivo posso fare
• x-1 ≥ x ≥ 2 + 4-4x
• x ≥ 4x+2 + 5 ≤ 0
• x - 2 sempre

Quindi

x 2 U -2 ≤ x ≤ -1

-2 ≤ x ≥ x + 2

-2 ≤ x -1

-x -1 ≥ x 2 + 4+4x

-2 ≤ x x-1

x 2 + 5 + 5 ≤ 0

-5-√5 ≥ -2

-5-√5 ≥ -4

-√5 ≥ 0 N O

-5 + √5 ≥ -2

√5 ≥ 4

Soluzioni

x ≤ -5 + √5 / 2

ES 6

√3x-8 - √x+5 > √5x+3

x ≥ 8|3

x ≥ -5

x ≥ -315

3x-8 ≥ 0

x + 5 ≥ 0

5x + 3 ≥ 0

√3x-8 > |x+5 +√5x+3

x ≥ 8|3

3x - 8 > x + 5 + 5x + 3 + 2 (x+5)(5x+3)√

x ≥ 8|3

-3x - 16 > 2 (√x+5)(5x+3)

Se x ≥ 8|3 è positivo - 3x -16 < 0 , non può mai essere maggiore di 2 (√x+5)(5x+3) > 0.

Quindi soluzioni: ∅

ES.7

f(x) = log 1/2 (√3-x² - 2)

Dominio + positività

√3-x² - 2 ＞ 0

√3-x² ＞ 2

3-x² ≥ 0

3-x² ≥ 4

-√3 ≤ x ≤ √3

Funzione non ben definita

ES. 8

f(x) = log_1/2 (√3-x² - 2)

Dominio + Positività

√3