Esercizi funzioni a più variabili

Esercizi

1) Funzione arcsin

f(x,y) = arcsin(x² - 2y² - 1)

C.E.: -1 ≤ x² - 2y² - 1 ≤ 1 ⟺ x² - 2y² - 1 ≤ 1 x² - 2y² - 1 ≥ -1

{(x² - 2y²) - 2 ≤ 0 x² - 2y² > 0} ⟹ (x² - y² - 1 ≤ 0 ⟶ g₁(√x - √2y) · (x + √2y) ≥ 0 ⟶ g₂

g₁(x,y) > 0

x²/2 - y² = 1

Iperbole con asintoti y = ±1/√2 x

g₁(0,0) = -1

g₂(x,y) > 0

y = 1/√2 x, y = -1/√2 x

x - √2y = 0

D_f ⟹ chiuso e convesso

Esercizi

1) f(x,y) = arc sin(x² - 2y² - 1)

C.E.: -1 ≤ x² - 2y² - 1 ≤ 1 ⇔ { x² - 2y² - 1 ≤ 1 { x² - 2y² - 1 ≥ -1 {{ x² - 2y² - 2 ≤ 0 { x² - 2y² > 0

x² - y² - 1 ≤ 0 ➔ g₁(√x - √2y) · (x + √2y) ≥ 0 ➔ g₂

g₁(x, y) > 0

x²/2 - y² = 1

Iperbole con asintoti y = ±¹/_√2x

g₁(0,0) = -1

g₂(x, y) > 0

y = ¹/_√2 x

y = -¹/_√2x

x - √2y = 0

D_f ➔ chiuso e convesso

1) Funzione logaritmica

f(x,y,z) = log(z) - sqrt(1-x²-y²-z²) - y²

C.E. z >= 0

1 - x² - y² - z² >= 0

x² + y² + z² <= 1 → Bordo sfera, bordo incluso

No aperto, no chiuso, connesso

2) Funzione esponenziale

g(x,y) = e^x+y - x + y²

D_g = R²

∇_g(x,y) = \[\begin{pmatrix}e^x+y - 1 \\e^x+y + 2y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix}\]

e^x+y = 1 → \begin{cases}x + y = 0 \\2y + λ = 0\end{cases} → \begin{cases}x = \frac{1}{2}\\y = -\frac{1}{2}\end{cases}

Punto stazionario \begin{pmatrix}\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\end{pmatrix}

H_g(x,y) = \[\begin{pmatrix}f_xx & f_xy \\f_yx & f_yy\end{pmatrix}\]

∂²g(x,y)/∂x² = e^x+y

∂²g(x,y)/∂yx = e^x+y

∂²g(x,y)/∂xy = e^x+y

∂²f(x,y)/∂y² = e^x+y + 2

Hg = det = det = 2 > 0, è punto di min relativo → valore del min relativo

Funzione a tratti

f(x,y) =; y ≠ 0 0 ; y = 0

D_f = ℝ²

• F continua, calabile, differenziabile in (0,0)?
• Equazione piano tangente
• Di max crescita
• F ∈ C¹(ℝ²)

lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0

Se θ ≠ 0, π

lim_ρ→0⁺ | 3ρ²sin²θ cos ₁ - 0 | ≤ lim_ρ→0⁺ 3ρ² = 0

Quindi f cont in (0,0)

f_x(x,y)=0 (se y=0)

lim_h1>0f(x₀+h₁,0) - f(x₀,0) ^h₁ =0

f_y(x,y)= (3y)²cos²(¹/_y)+3sin²(¹/_y), y ≠ 0

Se y ≠ 0 lim_h2>0f(x₀,h₂) - f(x₀) ^h₂= lim_h>03h² (cos(¹/_h2)) =0

Quindi f è deriv. in R², quindi f deriv. in (0,0)

lim_{(h1,h2)>(0,0)}  f(h₁,h₂) - f(0,0) - f_x(0,0)h₁- f_y(0,0)h_{2                       √(h1² + h2²)}=

lim_{(h2,h1)>(0,0)} 3h²₂ cos(¹/_h2) _{√ h2² + h2²}= 0

h₁ = ρcosθ

h₂ = ρsinθ

lim_ρ>0 3ρ² sin²θcos (¹/_ρsinθ) _ρ- 0|<lim_ρ>03ρ =0 ⇒ f diff. in (0,0)

η₀ : z = f(0,0) + f_x(0,0)(x-0)+f_y(0,0)(y-0)

z=0

b) Continuità e derivabilità

f continua in (5; ²⁄_π) poiché 3y³cos(³⁄_y) continua nel suo dominio.

f derivabile in R² ⇒ f deriv. in (5; ²⁄_π)

f_x(x,y) = cont. in R²   f_y(x,y) cont. se y ≠ 0         ║       ║     ∫ e diff. se y ≠ 0; ƒ diff. in (5; ²⁄_π)

ƒ&sub2;, z₀ = f(5; ²⁄_π) + d_x[5; ²⁄_π](x-5) + d_y[5; ²⁄_π](y-²⁄_π)

ƒ&sub2;, z = 3(y-²⁄_π) ⇒ 3πy - πz - 6 = 0

(v)_max = ^{Δ ∫ f(5; 2⁄_π)}⁄_{║∇ƒ∫f(5;²⁄π)║} = ¹⁄₃ ( ⁰⁄₃ ) = ( ¹⁄₀ )

2) Continuità di f_y

f_y cont. se y = 0?

lim_{(x,y) → (x₀,0)} d_y(x,y) = ^³⁄⁄_y(x₀,0) = 0

∀x ∈ x = x₀

lim_{y → 0} f_y(x₀,y) = lim_{y → 0} [6 y cos(¹⁄_y)+ 3 sin¹⁄_y) ] ⇒ ≠

Quindi:

lim_{(x,y) → (x₀,0)} f_y(x,y) = 7 ≠ 0 ⇒ ƒ ∉ C¹(R²)

Funzione con radice e arccos

f(x, y, z) = √(x² + y² - z²) + arccos(x - z)

D_f = ?

C.∊.

{x² - y² - z² > 0 → g₁

1 - |x - z| < 1 → g₂

g₂ : 1 < x ≤ 3

-x² + y² + z² ≤ 0

-x² + y² + z² = 0 ("Simile" a x² + y² - z² = 0) Cono

D_f: Et Alius coninens