Esercizi Fondamenti di Automatica

Questionario e appunti sui modelli matematici

1) Confronto tra tre banche

1) Tre banche propongono le seguenti condizioni: la banca A garantisce un interesse del 1,2% mensile e nessuna spesa di gestione, la banca B garantisce un interesse del 3,7% trimestrale e nessuna spesa di gestione, la banca C garantisce un interesse dell’8% semestrale e spese pari ad 8 € a semestre. Allora: V F

• A. Conviene in ogni caso la banca B  
• B. Non conviene mai la banca A  
• C. Se il capitale investito inizialmente è maggiore di 1500 €, allora conviene la banca C  
• Xd. Se il capitale investito inizialmente è pari a 2000 €, allora conviene la banca C  

2) Confronto tra due banche

2) Due banche propongono le seguenti condizioni: la banca A garantisce un interesse del 1% trimestrale con spese di gestione pari ad 1 € a trimestre, la banca B garantisce un interesse dello 0,6% bimestrale e nessuna spesa di gestione. Allora: V F

• A. Se il capitale investito inizialmente è maggiore di 1000 €, allora conviene la banca A  
• B. Se il capitale investito inizialmente è maggiore di 1000 €, allora conviene la banca B  
• C. Se il capitale investito inizialmente è minore di 1000 €, allora conviene la banca A  
• D. Se il capitale investito inizialmente è minore di 1000 €, allora conviene la banca B  

3) Modello di flusso continuo senza flusso entrante

3) In un modello di flusso continuo, in assenza di flusso entrante, un compartimento si svuota del 30% in mezz’ora. Allora, il compartimento si svuota del (con 3 cifre significative) V F

• A. 51,0% in un’ora  
• B. 75,0% in due ore  
• C. 11,2% in dieci minuti  
• D. 15,6% in un quarto d’ora  

4) Modello di flusso continuo con svuotamento del 50%

x4) In un modello di flusso continuo, in assenza di flusso entrante, un compartimento si svuota del 50% in due ore. Allora, il compartimento si svuota del (con 3 cifre significative) V F

• A. 75,0% in quattro ore  
• Ib. 30,0% in un’ora  
• C. 65,2% in tre ore  
• D. 5,61% in dieci minuti  

Appunti sui quesiti 1-4

A mensile dia 1.2 nessuna spesa interesse e gestione periodi B piccoli trimestrale di 13,7 interesse nessuna spesa e gestione C 8 se semestre interesse e semestrale pari a spese A B confronto e A C atia Kai se_se se K 1.012 se_ K mese CZACK 1,012 c 1012 1030 B 13 K deckexit 1,037 ke mesi sei seanca 1,037 CAA B quando conviene falso A 1036427 1.037 C s nons mai conviene B confronto C e 10372 CB serial sei mesi SC snackeria K trsei c 8 1,08 sei mesi BB c quando conviene CB 1,0372 C 8 1,08 C 1727 1727,488 c

ES 2A 1 die 1 trimestrale interesse e gestione spesa B nessuna di 1 bimestrale interesse a e spesa gestione A se_ceti atiaiseacks esentii 101 C 1 B secret Citibank GI 1.006 Ca la 1,006 c 1.012036 C sei 1.0063 C s 6 mesi sei 1,01811 C3 A B e 101811 C 1,0201 C 2.01 e AB cosa 1.018111 C e 2.01 1010 o consace 201 c 1010,05

ESB dio 30 InAT 30min decisione Modello tempo discreto di LIAT IL 301 0,3 a Lied 1h AT dio di dio die G1G KTM sei sei K antidiode CKt21 0,491 1 LII se.ch e 0,51 si o DTI dio 10min c to dio aiò aiò ca ace 11.2.10,7 slick dicea 0,11209 iLio td 0,1634 a Modello flusso di continuo diodi tinese.co Ct1e LE la 71,331 h lui Mattone istantanea è di si quanto non 1h svuota in ohnahah getaura 210 e107133 2 è 0,50997 11 510,51 a 07133 2 è b 7611 0,75987 0,761607133 è 10,11208 c 11,2 0,1121 07133 è d 16,3 0,16331

ES4 dio ah di DT50 0.5 O 750 at aitiarga 34657 inat è ag.sidi edaiò glu 0,34657 ag attorno 65.0 aitto.osoinst s.eu

5) Coefficiente di distribuzione

5) In un modello di flusso continuo un compartimento ha un coefficiente di distribuzione pari al 27%/giorno. Allora, in assenza di flusso entrante, il compartimento si svuota del (con 3 cifre significative) V F

• A. 23,7% in un giorno  
• B. 5,47% in cinque ore  
• C. 85,0% in una settimana  
• Xd. 100% in un mese (30 giorni)  

6) Matrice dinamica della rete di pagine web

6) Per gli elementi della matrice dinamica del modello di transizione della rete di pagine web in figura: Pagina 1 Pagina 2 Pagina 3 Pagina 4 Pagina 5 Pagina 6 Links: Links: Links: Links: Links: Links: 2 1 1 2 13 4 2 6 55 6 V F =  

• A. 31 25 =  
• B. 13 631+  
• C. =14 6   <
• D. 25 24

7) Matrice dinamica del modello di transizione

7) Per gli elementi della matrice dinamica del modello di transizione della rete di pagine web in figura: Pagina 1 Pagina 2 Pagina 3 Pagina 4 Pagina 5 Links: Links: Links: Links: Links: 2 2 1 43 4 25 5 V F3 + 2  

• A. =14 15 =  
• B. 23 541−  
• C. =32 51 + 4  
• D. =45 55

Appunti sui quesiti 5-7

ES dice Atei 271 0,27 giorno dit'e 23,7 0,237 eoaz.aediede diy sti 5 oosuzs.uz.i sati 7ait ooua s.o.idò sti 30 noorsa 6ES 54 6321 21 1a 4 63 a65 di025 Lassi 1 112112 È hahp i uncinea tadiadai E236 12 an 6an 116 cineajhai non unci un'autorità è 3 Pif cineadhaan Hp i none unun'autorità e è non GLI ZEP_AIIGiu241 No4 113112252 araarse 242 EST 54321 2 412 43 a55 b3 20 923 Gin asma 15 232 245 1113 II fp 3 vero vero d 1 GtLEazzC 945 falso iI223 PE 254045 vero

8) Matrice e modelli descrivibili

8) La matrice 0,6 0,8 1(0,2 −0,2 0 ) = 0,2 0,4 0 può descrivere V F

• A. Un modello di flusso continuo  
• B. Un modello di decisione  
• C. Un modello di transizione tra stati  
• D. Un modello di influenza  

9) Matrice e transizione tra stati

9) La matrice 0,1 0,8 0,5( ) = 0,7 0,1 00,2 0,1 0,5 può descrivere V F

• A. Un modello di flusso continuo  
• B. Un modello di decisione  
• C. Un modello di transizione tra stati  
• D. Un modello di influenza  

10) Matrice e modello di transizione tra stati

10) La matrice 0,3 0,2 0,2(0,3 0,9 0,8 ) = 0,4 −0,1 0 può descrivere V F

• A. Un modello di flusso continuo  
• B. Un modello di decisione  
• Xc. Un modello di transizione tra stati  
• D. Un modello di influenza  

11) Modello a struttura d’età

11) Per un modello a struttura d’età composto da sole tre classi: V F

• A. Se e allora la = 80%, = 80%, = 50%, = 0%, = 120% = 0%,   1 2 3 0 1 0 2 0 3 popolazione è in crescita
• B. Se e allora la = 100%, = 100%, = 90%, = 0%, = 90% = 0%,   1 2 3 0 1 0 2 0 3 popolazione è in diminuzione
• C. Se e allora la = 80%, = 80%, = 0%, = 0%, = 125% = 0%,   1 2 3 0 1 0 2 0 3 popolazione è costante
• D. Se e allora la = 100%, = 70%, = 3%, = 0%, = 150% = 0%,   1 2 3 0 1 0 2 0 3 popolazione è in crescita

Appunti sui modelli e matrici

Iiii sulla Cac continuo a flusso modello diagonale y Fuori dalla coeff. aerecezione 0 diagonale Sulla incacc caist orcanstes decisione 1 modello e diagonale matrice stocastica transizione 1 modello tra stati colonne somma 1 elementi compresi 0 tra CIE si 5073 Sofasa 53 Sofa 5200191 0 Sib 1 3210 1,2500,8 018 0 C _g auga.usea Ooo 115y fertili non sono R Sofa SOS Si72 RE diminuisce 0,8 0,96 1,2 Rb diminuisce 0,9 0,91 Re costante 0,8 11,25 Ra 1,51 1,5 cresce

12) Rete di pagine web e PageRank

12) Si consideri la rete di pagine web in figura: Pagina 1 Pagina 2 Pagina 3 Links: Links: Links: 2 12 L’ordine nel PageRank di Google è: V F

• A. 1, 2, 3  
• B. 2, 3, 1  
• C. 2, 1, 3  

13) Ordine del PageRank

13) Si consideri la rete di pagine web in figura: Pagina 1 Pagina 2 Pagina 3 Links: Links: Links: 3 12 V F

• A. La prima pagina nell’ordine del PageRank è la pagina 3  
• B. La prima pagina nell’ordine del PageRank è la pagina 2  
• C. Le pagine 1 e 2 hanno lo stesso ranking  

14) Gestione di un capitale per un anno

14) Due banche propongono le seguenti condizioni: la banca A garantisce un interesse pari allo 0,5% mensile e nessuna spesa di gestione, la banca B garantisce un interesse dell’1,2% bimestrale e spese pari a 5 € a bimestre. Come conviene gestire per un anno un capitale pari a 2460,00 €? V F

• A. Conviene investire inizialmente il capitale nella banca A per poi spostarlo nella banca   B dopo 8 mesi
• B. Conviene investire inizialmente il capitale nella banca A per poi spostarlo nella banca   B dopo 6 mesi
• C. Conviene lasciare il capitale investito tutto l’anno nella banca A  

15) Clienti Coca-Cola e Pepsi-Cola

15) Ogni persona mediamente compra una bibita di tipo Cola (o Coca-Cola o Pepsi-Cola) alla settimana. Chi compra Coca-Cola, nel 90% dei casi, la ricompra la settimana successiva mentre, nel caso della Pepsi-Cola, la percentuale dei clienti fidelizzati ad una settimana è dell’80%.

• A. Qual è la probabilità che un cliente della Pepsi-Cola compri nuovamente la Pepsi-Cola dopo due settimane?
• B. Se la quota attuale di mercato della Coca-Cola è del 60%, quale sarà tra 3 settimane?
• C. E sul lungo periodo? [?]

Appunti sui quesiti 12-15

ES.is E5 uguali aveva EMYIIPay è 085 ÈIfo Io Fottip P1 0,15 IoFà Ig120 13 19,40 XGathobt 148 114 Ca57 C 120 a pa b Gathobt sac Ifac 120 a Lobigoa 6C 120 a Ettino sa IL satinatatt tI 2

ES 14 mensile 05A bimestrale B 5 1,2 C 2460.00 1,005 Csea 1,012 CAB 5 BA 1005 C 1,012 C 5 se CHE 2531,64 scale te 2460 5,7 6 1,005 102912 ea 2531,64 logico mesi dopo E 15 ÈÈ 90C restante il noi compro eso 1 ARCH KOALKA 1X1 anni 8III acca onoron aPac a comprare da rimango IIb Ax seco ALKA K 1Xa settimane 364,38 in 0,643823 0.3562 35162 EHIDI1 abosato 0,25 a0,1 ab di costante a meno unaa g g

16) Giocatore d’azzardo

16) Un giocatore d’azzardo ad ogni partita può vincere un euro con probabilità pari al 40% e perdere un euro con probabilità pari al 60%. Il giocatore inizia a giocare avendo 2 € e smette di giocare quando la sua fortuna ha raggiunto 4 € oppure quando ha perso tutto. Qual è la probabilità che giochi almeno 5 partite? [?]

17) Carbonio radioattivo e datazione

17) Il carbonio è presente sulla terra in tre isotopi: due stabili ( C e C) e uno radioattivo 12 13 ( C). Quest'ultimo si trasforma per decadimento beta in azoto non radioattivo, con un 14 tempo di dimezzamento medio di 5.730 anni. Questo isotopo quindi scomparirebbe, a lungo andare, se non venisse continuamente reintegrato. Gli animali e i vegetali scambiano però continuamente carbonio con l'atmosfera (respirazione o fotosintesi). Di conseguenza, finché un organismo è vivo, il rapporto tra la sua concentrazione di C14 e quella degli altri due isotopi si mantiene costante e uguale a quella che si riscontra nell'atmosfera.

Il carbonio radioattivo nelle piante viventi decade al ritmo di 12,5 disintegrazioni al minuto (dpm) per ogni grammo di carbonio contenuto. Stimare l'età di un reperto in legno proveniente dalla tomba del Faraone Zoser (2660 a.C.) effettivamente datata con questo metodo nel 1950, sapendo che il numero dei dpm rilevabili è proporzionale alla massa di C contenuto in un grammo di carbonio in 14 quel momento e che un grammo di carbonio del reperto presentava invece nel 1950 una attività radioattiva pari a 7,62 dpm. [?]

18) Investimento di capitali in due banche

18) Due banche propongono le seguenti condizioni: la banca A garantisce un interesse pari allo 0,4% mensile e nessuna spesa di gestione, la banca B garantisce un interesse dell’1,5% trimestrale e spese pari a 7 € a trimestre. Come conviene investire un capitale pari a 2290,00 €? Ed uno pari a 2390, 00 €? [?]

19) Urna con palline rosse e nere

19) Un’urna contiene inizialmente 2 palline rosse (R) e 2 palline nere (N). Due giocatori, A e B, effettuano delle estrazioni successive con le seguenti regole: se la pallina estratta è N, essa viene messa da parte; se la pallina estratta è R, essa viene rimessa nell’urna insieme ad una nuova pallina N. A vince non appena nell’urna ci sono 4 palline N, B vince non appena nell’urna non ci sono più palline N. Qual è la probabilità che dopo 3 estrazioni ci siano almeno 2 palline N nell’urna? [?]

20) Produzione media di una macchina

20) Una macchina è utilizzata per produrre degli oggetti. Se la macchina è in buone condizioni oggi allora lo sarà anche domani con una probabilità del 90%. Se la macchina non è in buone condizioni oggi allora sarà mal funzionante anche domani con una probabilità del 70%. Quando la macchina è in buone condizioni produce 100 oggetti al giorno. Quando la macchina è mal funzionante produce 60 oggetti al giorno. In media quanti oggetti al giorno verranno prodotti? [?]

21) Cammino dell’ubriaco

21) Un ubriaco cammina lungo la via dove abita. Per andare dal bar a casa deve passare vicino a 3 lampioni. Ogni volta che arriva ad un lampione si appoggia e poi riprende il cammino proseguendo in avanti o tornando indietro con uguale probabilità. Quando arriva a casa o al bar, si ferma. Qual è la probabilità che torni a casa se, in un dato istante, è appoggiato al lampione più vicino al bar? [?]

22) Depositi a termine fisso

22) Il rendimento di un deposito a termine fisso della durata di tre mesi (di seguito individuato come investimento “A”) è del 2% e le sue spese di gestione, detratte al termine dei tre mesi di deposito, sono pari a 1 Euro. Il rendimento di un altro deposito a termine fisso della durata di sei mesi (di seguito individuato come investimento “B”) è del 4% e non sono previste spese di gestione.

Se si desidera investire per 4 anni un capitale pari a 4000,00 Euro, qual è il miglior modo di investire il capitale e qual è il capitale massimo che si riesce ad ottenere al termine dei 4 anni, anche spostando il capitale da un deposito all’altro al termine del rispettivo periodo di deposito? [?]

Evoluzione libera

1) Sistema descritto da equazione

1) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione −1 0 1 ̇ () = ( ) () 1 −2 10 0 2

• I. 1 L’evoluzione libera a partire dalle condizioni iniziali tende sul lungo (0) = ( ) 1   0 periodo all’origine dello spazio di stato
• II. 1 L’evoluzione libera a partire dalle condizioni iniziali tende sul lungo (0) = ( ) 0   1 periodo all’origine dello spazio di stato
• III. 0 L’evoluzione libera a partire dalle condizioni iniziali diverge sul lungo (0) = ( ) 1   1 periodo

2) Sistema con stati di equilibrio

2) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione 1 1 −2 ̇ () = ( ) () 0 −1 4 neroniana 1 1 −2 è falsa se la quindi 1 ÈLITE incinti staranno esistono V F

• I. Esistono infiniti stati di equilibrio  
• II. −1 − 2   è soluzione per gg () = ( ) (0) = ( ) 62 + 4 2 + 1
• III. 4 4   è soluzione per () = ( ) (0) = ( ) −8 −8 −2 −2

Di è equilibrio stato se uno siccome è esiste non l'origine infiniti esistono lineare sottospazio un ne

3) Sistema discreto

3) Si consideri il sistema descritto dalla seguente equazione 1 1 4⁄ ⁄ ⁄10 3 59 1 1( + 1) = () ⁄ ⁄ ⁄20 3 109 1 1 ⁄ ⁄ ⁄20 3 10 ( ) V F

• I. 0 2  , con è soluzione per () = ( ) > 0, (0