Esercizi di Econometria

5.1 Regressione OLS su dimensione delle classi e punteggio medio nei test

Si suppone che un ricercatore, usando i dati sulla dimensione delle classi (CS) e il punteggio medio nei test per 100 classi di terza elementare, stimi la regressione OLS,

TESTSCORE = 520,4 _(22,4) - 5,82 _(2,21) x CS R² = 0,08

SER = 11,5

1. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per β₁, la pendenza della regressione.

β̂₁ - 1,96 SE (β̂₁)

-5,82 - 1,96 - 2,21 = -10,15

β̂₁ + 1,96 SE (β̂₁)

-5,82 + 1,96 - 2,21 = -1,49

2. Si calcoli il P-VALUE di un test bilaterale per l’ipotesi nulla H₀: β₁ = 0. Si rigetta l’ipotesi nulla al livello di significatività del 5%?

H₀: β₁ = 0

H₁: β₁ ≠ 0

P_VALUE = 2Ф(-|t*|)

t* = (β̂₁ - 0) / SE(β̂₁)

t* = -5,82 / 2,21 = - 2,63

P-VALUE = 2Ф(-2,63) = 2Ф(-2,63) = 2 * 0,0063 = 0,0068

P-VALUE Il coefficiente β₁ è diverso da zero, quindi la class size è rilevante nel determinare il TESTSCORE.

5.1 Seconda formulazione dell’esercizio sulla regressione OLS

Si suppone che un ricercatore, usando i dati sulla dimensione delle classi (CS) e il punteggio medio nei test per 100 classi di terza elementare, stimi la regressione OLS,

TESTSCORÊ = 520,4 - 5,82 x CS R² = 0.08

SER = 11.5

1. Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per β₁, la pendenza della regressione.
2. Si calcoli il P-VALUE di un test bilaterale per l'ipotesi nulla H₀: β₁ = 0. Si rigetti l'ipotesi nulla a livello di significatività del 5%?

β̂₁ ± 1.96 · SE(β̂₁)

= -5.82 ± 1.96 · 2.21 = -10.15, -1.49

H₀: β₁ = 0

H₁: β₁ ≠ 0

t* = (β̂₁ - 0) / SE(β̂₁)

t* = -5.82 / 2.21 = -2.63

P-VALUE = 2Φ(-|2.63|) = 2Φ(-2.63) = 2 · 0.0043 = 0.0086

P-VALUE < 5%: rigetto l'ipotesi nulla

Il coefficiente β₁ è diverso da zero, quindi la dimensione è rilevante nel determinare il TESTSCORE.

Test bilaterale per l’ipotesi nulla su β₁

d) Si calcoli il P-VALUE per un test bilaterale per l'ipotesi nulla H₀: β₁ = 5.6 se l'ipotesi nulla a livello di significatività del 5%

H₀: β₁ = 5.6 Senza calcoli aggiuntivi si determini se -5.6 è contenuto nell'intervallo di confidenza al 95% per β₁.

H₀: β₁ = 5.6

H₁: β₁ ≠ -5.6

t* = (β̂₁ - (-5.6)) / SE(β̂₁)

t* = (-5.82 + 5.6) / 2.21 = -0.099

P-VALUE = 2Φ(|t*|) = 2Φ(-0.099) = 2 . 0.4602 = 0.9204

P-VALUE > 5% ⇒ non rifiuto l'ipotesi nulla

Intervallo di confidenza al 99% per β̂₀

d) Si costruisce un intervallo di confidenza al 99% per β̂₀

β̂₀ - 1.96 . SE(β̂₀) = 520.4 - 1.96 . 20.4 = 480.42

β̂₀ + 1.96 . SE(β̂₀) = 520.4 + 1.96 . 20.4 = 560.38

5.2 Regressione OLS su salario e genere

Si supponga che un ricercatore, utilizzando i dati su 250 lavoratori maschi selezionati casualmente e 280 femmine, stima la regressione OLS WAGE = 12.52 + 2.12 x MALE

(0.23) (0.30) R² = 0.66

SER = (4.2)

2. Qual è la differenza di genere stimata?

MALE = 1 = maschi

MALE = 0 = femmine

WAGE_H = 12.52 + 2.12 x 1 = 14.64

WAGE_F = 12.52 + 2.12 x 0 = 12.52

Verifica della significatività della differenza di genere

b) La differenza di genere è significativamente diversa da zero?

Si calcoli il P-VALUE per verificare l'ipotesi nulla che non esiste alcuna differenza di genere.

H₀: β₁ = 0

H₁: β₁ ≠ 0

t* = (2.12 - 0) / 0.36 = 5.89

P-VALUE = 2Ф(-|t*|)

P-VALUE = 2Ф(-5.89) = 2 · 0.000 = ≃0

P-VALUE < 5% rigetto l'ipotesi nulla su β₁, non è uguale a zero, quindi la variabile MALE è determinante nell'ammontare del salario

Intervallo di confidenza per la differenza di genere

c) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello (95%) per la differenza di genere.

β̂₁ ± 1.96.SE(β̂₁)

β̂₁ = 2.12 + 1.96 · 0.30 = 2.708

2.12 - 1.96 · 0.30 = 1.532

Retribuzione media di donne e uomini

d) Nel campione, quale è la retribuzione media delle donne? E degli uomini?

Retribuzione media delle donne → β̂₀

Retribuzione media degli uomini = β̂₀ + β̂₁

MALE = 0

MALE = 1

Regressione di wage su FEMALE

e) Un altro ricercatore usa gli stessi dati ma effettua una regressione di wage su FEMALE, una variabile che è uguale a uno per le femmine e zero per i maschi. Quali sono le stime ottenute da tale regressione?

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