Esercizi di analisi matematica

Esercizio

Risolvere il problema di Cauchy

y' = ⁴⁄_x - 4y²

y(2) = 1

Soluzione

L'equazione è di Bernoulli con α = 2, possiamo risolvere con la sostituzione

w = y^1-α => w = y^-1

Dunque w^-1 = 4 - 4y², dividendo l'equazione per y² sostituendo otteniamo

w' - ^w⁄_x = -4

w(2) = 1

w' + ^w⁄_x = 2

Il fattore integrante è dato da

∫¹⁄_xdx = log|x|

Pertanto

w(x) = e^-∫A(x) (c + ∫e^∫A(x) B(x) dx)

w(x) = x^-1 ( c + ∫₁⁄_x dx)

= x^-1 (c + ^x2⁄₂)

=> w(x) = ^c⁄_x + ^x2⁄₂

Esercizi

Esercizio 1

Risolvere il problema di Cauchy

^{y' + y^2 = 4/x}

^{y(2) = 1}

Soluzione

L'equazione è di Bernoulli con α = 2, possiamo risolverla

con la sostituzione

w = y^1-α => w = y^-1

Dunque w' = - 4y^-3, dividendo l'eq. originaria per y^2 e

sostituendo otteniamo

w' - w/x = -4/x

w(2) = 1

w' + w/x = 2

il fattore integrante è dato da

∫(1/x) dx = log|x|

pertanto

w(x) = e^-∫(A(x)dx) (C + ∫ e^(A(x)) B(x) dx)

w(x) = x^-1 (C + ∫ 1/x dx)

= x^-1 (C + x^-1/2)

= x^-1 (C + x^-1/2)

=> w(x) = C/x + x^-1/2

Sostituiamo la condizione iniziale del problema di Cauchy per trovare la soluzione particolare :

L = C + ¹/₂ ⇒ C = ¹/₂

Pertanto w(x) = ¹/_2x + ^x2/₂ poiché 4 = w^-1(x)

y(x) = 2x + ²/_x² = ^{1 + x2}/_ex

Poiché la soluzione è priva di senso per x = 0 la soluzione massimale è data per x > 0.

Esercizio 2

Risolvere il problema di Cauchy

y' + y = cosx / y

y(0) = 1

Soluzione

L'equazione è di Bernoulli:

y' - cosx (y^{-1}) = y

dunque α = 1

w = y^-1 => w = y⁴ e

w = z y⁴

4y = w / 2y⁴

Pertanto moltiplicano l'equazione iniziale per 2y⁴ poi ambos e sostituisci si ottime:

4y + 2λ y = 2 cos x

w' + 2w = 2 cos x

w(0) = 1

Pertanto R(0)

w(x) = e^-2x (c + ∫^x₀ e^{2 cos x dx})

w(x) = e^2x (c + ∫^x₀ e^{2 cos x dx})

uscrivamo ∫ integrale

e^x e^{2 cos x dx} => integrazione per parti

Integrazione per parti:

∫f(x)g(x)dx = f(x)G(x) - ∫f'(x)G(x)dx

f(x) = 2 cosx

g'(x) = e^x → g(x) = ^ex/₂

= 2 cos x ^ex/₂ + 1/₂ ∫e^x2sinx dx - e^x cos x + 1/₂ ∫e^x2sinx dx

Rieapplichiamo l'integrazione per parti.

f(x) = 2sinx

g'(x) = e^x → f'(x) = 2 cosx

g(x) = ^ex/₂

e^x cosx + 1/₂ (e^x sinx - 1/₂ (e^x 2 cosx) =

e^x cosx + e^x sinx =

∫e^x2cosx dx = e^x sinx + e^x cosx =>

y_n = C + y_n /₅ => C = 1/₅

Compito del 03/03/13

Es. 1.Calcolare il massimo ed il minimo assoluti della funzione:

f(x, y) = x₂ + 4y + 4 - x - y

nell'insieme X = {(x, y): x + y ≤ 2 , x ≥ 0, y ≥ 0}

Soluzione

Poichè è un insieme chiuso e limitato per il teorema di Weierstrass esiste al suo interno un punto di massimo e un punto di minimo.

Per prima cosa troviamo i punti critici e calcoliamo il gradiente della funzione

• { 2x + 4, y - y = 0 { y ( 2x + y - 2 ) = 0x₂ + 2x - y₂ - y = 0 => posso avere a sistema:x = 0 y = 0 x = 0 y = 0 x = 2 y = 2 { x = 0 { 2 + 2 - x = 0 x - y₂ + x = 2 = 0y = - 2x y = 3/2x₂ - 2x = 0 x = 3/2 => (P₄( 2/3, 3/2 )){x = 0 { x + 4 - x = 0

Tutti i punti appartengono a K e quindi possiamo prendere in considerazione.

Ora controllo i punti sulla frontiera mediante il metodo di sostituzione

f(x, 2-x) = x(2-x)