Esercizi di Analisi 1 con Soluzioni

Analisi 1 esercizi

Parte 1 esercizi

1) A = { z in C : (z⁴ - 1) = 0 }
B = più piccolo contenuto che contiene A
Area(B) = ?

2) f(x) = sinh(x(e^2x2))
y = g(x) equazione della retta tangente al grafico di f in (0,0).
Allora g(1) = ?

3) f(x) = e^x / (1 + x²)
Quali di queste sono vere?

• f limitata
• f pari
• f non-decrescente
• f >= 0

4) f(x) = arctan(x²), g(x) = |cos x|
h(x) = min {f(x), g(x)}

1. h pari
2. f + g - h è limitata
3. f o g >= 0
4. h <= 1

5) F(x) = sen(x²) / (x² - pi²) as x != pi
= 1/2 as x = pi
Allora f è...

6) f(x) = ln(x - pi) + sqrt(sin²x) / (x - pi)
Allora lim f(x) =
x -> pi⁺

7) Sia h(x) = f(g(x))
f(x) = arctan x², g(x) = x²e^x
Allora h'(0) + h'(1) =

8) Sia f(x) = x³ + x e g la funzione inversa.
Allora g'(2) =

9) Sia g(x) = x ln x e G la primitiva tale che G(1) = 1.
Allora G(2) =

10) Sia f(x) = x² e^-x + arctan x³.
Allora f''(1) =

11) Calcolare integrale da 2 a 3 di |arctan x| dx.

12) Calcolare integrale da -1 a 1 di (x² sin(arx) + ln(2 - |x|)) dx.

13) Calcolare integrale improprio da 2 a +infinito dx/(x ln x²).

14) Calcolare integrale da 0 a 1 x² e^1/x dx.

15) x u'(x) = 1/2 (1 + u(x)), con x>0, u(1) = 0.
Allora u(0) =

16) Sia v la soluzione del problema di Cauchy v''(t) - v'(t) - 2v(t) = t; v(0) = 0, v'(0) = 1.
Allora v(1) =

17) Sia w la soluzione del problema w''(x) + 4w'(x) + 4w(x) = cos x, w(0) = 1, w'(0) = 0.
Allora w''(0) =

18) Trovare la soluzione generale del sistema y' = Ay con A = ((3, 2), (-2, -2)).

Soluzioni parte 1

1) z⁴ = 1
=> z = 1, i, -1, -i, quadrato => Area |B| = 4.

2) g(x) = f'(0)(x - 0) + f(0)
f'(x) = cosh(x e^2x2)(e^2x2 + x e^2x2 4x)
f'(0) = 1
g(x) = x
g(1) = 1

3) 1) no
lim f(x) = +infinity
x -> +infinity

2) no
f(1) = e != 1/e = f(-1)

3) sì
f'(x) = (- e^x 2x + e^x (1 + x²)) / (1 + x²)²
= e^x (x - 1)² / (1 + x²)² >= 0

4) sì

4) 1) sì min { arctan x², cos x } is pointwise minimum
2) sì sono tutte limitate
3) sì f(r) >= 0, qbo r >= 0
4) sì h <= 1

5) x² - pi² = x² - pi
f(pi) = 1/2
f'(pi) = lim f(x) - f(pi) / x - pi
x -> pi⁺
= lim sin(x²) / (x² - pi²) - 1/2 / x - pi
= lim 2 sin(x - pi)(x + pi) - (x² - pi²) / 2 (x² - pi²)(x - pi)
= lim 2 sin(x - pi)(x + pi) - (x - pi)(x + pi) / 2 (x - pi)²(x + pi)
= lim 2 sin(x - pi) - (x - pi) / 2 (x - pi)²
= lim 2 cos(x - pi) - 1 / 4 (x - pi)
= +infinito
Allora non è derivabile.

6) lim f(x) = +infinito
x -> pi⁺
lim (ln(x - pi) + sin x / (x - pi))
= lim (1/(x - pi) + cos x(x - pi) - sin x / (x - pi)²)
= lim (x - pi + cos x(x - pi) - sin x / (x - pi)²)
= lim (1 + cos x - cos x) / 2(x - pi)
= 1/0+ = +infinito

lim f'(x) = lim 2 sin x cos x/(x - pi) - sin²x/(x - pi)² + 1/(x - pi)

pi⁺ (2 sin x cos x / -sin x - 1/(1 + x - pi) 1/(2(x - pi)))
= 2 - infinity = -infinity

7) h(x) = arctan x² e^2x
h'(x) = 1/(1 + x⁴e^4x) (2x e^2x + 2x²e^2x)
h'(0) = 0     h'(1) = 1/(1 + e⁴) (2e² + ?)

h'(0) = f'(g(0))g'(0) = 0
h'(1) = f'(g(1))g'(1) = 2e/(1 + e⁴) 2e = 4e²/(1 + e⁴)
f'(x) = 2x/(1 + x⁴)
g'(x) = (1 + x)e^x

8) f(x) = x³ + x , g = f^-1
g'(2) = 1/f'(y)
f(y) = 2 = y³ + y => y = 1
= 1/(3y² + 1) = 1/4

9) g(x) = x ln x
∫ x ln x dx = x²ln x/2 - 1/2 ∫ x dx = x²/2 ln x - x²/4 + c
G(x) = x²/2 ln x - x²/4 + c
G(1) = 1-1/4 + c = 1 => c = 5/4
G(x) = x²/2 ln x - x²/4 + 5/4 => G(2) = 2 ln 2 + 1/4

10) f(x) = x²e^-x + arctan x³
f'(x) = 2x e^-x - x²e^-x + 1/(1 + x⁶) 3x²
f''(x) = 2e^-x - 2x e^-x - 2x e^-x + x²e^-x + (6x(1 + x⁶) - 6x⁵.3x²)/(1 + x⁶)²
f''(1) = 2/e - 2/e - 2/e + 1/e + (12 - 18)/2²
= -1/e - 3/2

11) ∫₂³ |arctan x| dx = ∫₂³ arctan x dx = [x arctan x]₂³ - ∫₂³ x/(1 + x²) dx
= [x arctan x]₂³ - 1/2 [ln(1 + x²)]₂³

12) ¹/_-1 (x² sin(arx) + ln(2 - |x|)) dx == 2 ¹/₀ ln(2 - x) dx = 2 [x ln(2 - x)]¹₀ + 2 ¹/₀ x/(2 - x) dx
= 2 ¹/₀ (-1) dx + 2 ¹/₀ 2/(2 - x) dx == -2 + 4 [-ln(2 - x)]¹₀ = -2 + 4 ln 2

13) ^{+ oo}/₂ dx/(x ln x²) = lim_{H -> + oo} 1/2 [-ln(ln x²)]^H₂ = + oo

14) ¹/₀ x² e^1/x dx = t = 1/x, dt = -1/x² dx = -t² dx
= - ^{+ oo}/₁ 1/t² e^t dt (-1/t²) = + oo

15) u' - 1/(2x) u = 1/2
u(x) = e^{1/2x ∗} 1/2 e^-1/2x
= e^{1/2 ln x ∗} 1/2 e^{-1/2 ln x}
= sqrt(x)/2 ^∗ 1/sqrt(x) = sqrt(x)/2 (2 sqrt(x) + c)
= x + c sqrt(x)
u' - 1/(2x) u = 1 + c/(2 sqrt(x)) - 1/(2x) x - 1/(2x) c sqrt(x) = 1/2
u(1) = 1 + c = 0 -> c = -1 -> u(x) = x - sqrt(x) -> u(0) = 0

16) lambda² - lambda - 2 = 0
(lambda - 2)(lambda + 1) = 0 => v_e(t) = c₁ e^2t + c₂ e^-t
v_p(t) = alpha t + beta
0 - alpha - 2 alpha t - 2 beta = t
alpha + 2 beta = 0, beta = 1/4
-2 alpha = 1 => alpha = -1/2
v(t) = c₁ e^2t + c₂ e^-t - 1/2 t + 1/4
{ c₁ + c₂ + 1/4 = 0
2c₁ - c₂ - 1/2 = 1
3c₁ - 1/4 = 1 => c₁ = 5/12
c₂ = -5/12 - 3/12 = -8/12 = -2/3
v(t) = 5/12 e^2t - 2/3 e^-t - 1/2 t + 1/4
v(1) = 5/12 e² - 2/3 e^-1 - 1/2 + 1/4

17) lambda² + 4lambda + 4 = 0
(lambda + 2)² -> w(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x + w_p(x)
w_p(x) = alpha cos x + beta sin x
- alpha cos x - beta sin x - 4 alpha sin x + 4 beta cos x + 4 alpha cos x + 4 beta sin x = cos x
{ - alpha + 4 beta + 4 alpha = 1
- beta - 4 alpha + 4 beta = 0 }
{ 3 alpha + 4 beta = 1
-4 alpha + 3 beta = 0 }
{ 3 alpha + 16/3 alpha = 1
beta = 4/3 alpha }
{ 25/3 alpha = 1
beta = 4/3 alpha }
{ alpha = 3/25
beta = 4/3 . 3/25 }
{ alpha = 3/25
beta = 4/25 }
w(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x + 3/25 cos x + 4/25 sin x
w''(0) = cos 0 - 4 w'(0) - 4 w(0)
= 1 - 4 . 0 - 4 . 1 = -3.

18) tr = 1 = x₁ + x₂
det = -2 = x₁x₂
lambda₁ = 2, lambda₂ = -1
( 3 2 ) ( v₁ ) = ( 2v₁ )
( -2 -2 ) ( v₂ ) ( 2v₂ )
{ 3v₁ + 2v₂ = 2v₁
-2v₁ - 2v₂ = 2v₂ }
{ v₁ + 2v₂ = 0
-2v₁ - 4v₂ = 0 }
v̄₁ = ( 2-1 )
( 3 2 ) ( v₁ ) = ( -v₁ )
( -2 -2 ) ( v₂ ) ( -v₂ )
{ 3v₁ + 2v₁ = -v₁
-2v₁ - 2v₂ = -v₂ }
{ 4v₁ + 2v₂ = 0
-2v₁ - v₂ = 0 }
v̄₂ = ( 1-2 )
y(x) = c₁( 2-1 )e^2x + c₂( 1-2 )e^-x

Parte 2 esercizi

Esercizi di riepilogo

1. Lim_{x -> 0} x sin(1 - e^x) / (cos 2x - 1) =
2. Lim_{x -> +infinito} [1/2(cos 3x²)]⁷ + 1/(arctan(ln 1/x)) =
3. Sia y = g(x) l'eq. della retta tangente alla curva y = tan(x²) + x nel punto (0,0). Allora g(2) =
4. Sia A = { z in C : z³ + iz = 0 }. Allora sup{|z| : z in A} + inf {2|z| : -z in A} =
5. Sia f(x) = integral from 0 to x [t] dt. Allora f(3) + f'(sqrt(2)) =
6. Sia f(x) = xe^-x2 e x_m, x_M rispettiv. l'unico p.to di minimo e massimo di f. Allora f(x_m) . x_M =
7. Sia f(x) = min {1/x², 1}. Allora integral from -infinito to 2 f(t) dt =

8) I =
Allora I =

9) Sia u sol. di x u'(x) + u(x) = x² u(1) = 1
Allora u(2) =

10) Sia y la soluzione di y''(t) - y(t) = e^2t y(0) = 1/5 y'(0) = 2/5
Allora y((1/2) ln 5) =

11) Sia u la sol. di u'(x) = 1/x (1 + u²(x)) u(e) = sqrt(3)
in un intorno di e.
Allora u'(e) + u(5/2) =

Parte 2 soluzioni

Soluzioni

1) lim x sin(1 - e^x) / (cos 2x - 1) == lim x sin(-x - x²/2! - ...) / (1 - (2x)²/2! + ... - 1) == lim (-x² + ...) / (-4x²/2) = 1/2

2) = lim 0 + 1 / arctan(ln(1/x)) == 1 / arctan(lim ln(1/x)) = 1 / arctan(-infinito) = -2/pi

3) f(x) = tan(x²) + x
f'(x) = 1/cos²(x²) . 2x + 1
f'(0) = 1/cos²(0) . 2.0 + 1 = 1
g(x) = 1(x - 0) + 0 = x
g(2) = 2.

4) z³ + iz = z(z² + i)
A = {0, &(minus)(√2)/2 + √2/2 i, √2/2 - √2/2 i}
sup{|z| : z ∈ A} = 1
inf{|z| : -z ∈ A} = 0

5) T([,])
f(3) = An = 1 + 2 = 3
f(√2) = [√2] = 1

6) f(x) = e^-x2 + x · e^-x2 · (-2x) = e^-x2(1 - 2x²) -> x_m, x_M = ± 1/√2
ma f(-1/√2) < 0 < f(1/√2) quindi
x_m = -1/√2, x_M = 1/√2. f(-1/√2) = 1/√2 = -1/2 e^-1/2

7) ^-_∞ f(t) dt = ^-1_∞ f(t) dt + ¹_-1 f(t) dt + ²₁ f(t) dt
¹_-∞ f(t) dt = lim_{a -> -∞} [ -1/x ]¹_a = +1
¹_-1 f(t) dt = ¹_-1 1 dt = 2
²₁ f(t) dt = [ -1/x ]²₁ = -1/2 + 1 = 1/2
Quindi: ²_-∞ f(t) dt = 1 + 2 + 1/2 = 7/2

8) I = ¹_-1 cos x² arctan x³ + |x| arctan |x| dx
I = 2¹₀ x arctan x dx = 2 [x²/2 arctan x]¹₀ - 2¹₀ x²/2 1/(1 + x²) dx = π/4 - ¹₀ (x² + 1)/(1 + x²) + ¹₀ 1/(1 + x²)
= π/4 - 1 + π/4 = π/2 - 1

9) u'(x) + 1/x u(x) =
A(x) = ∫₁^x 1/t dt = ln x
u(x) = e^{-ln x} ∫ x e^{ln x} dx
= 1/x (x³/3 + c)
u(1) = 1/1 (1³/3 + c) = 1 <=> c = 2/3
u(2) = 1/2 (2³/3 + 2/3) = 1/2 10/3 = 5/3

10) x² - 1 = 0 → x₁ = 1
x₂ = -1
y_h(t) = c₁e^t + c₂e^-t
y_p(t) = a e^2t
y''_p(t) - y_p(t) = 4a e^2t - a e^2t = e^2t <=> 3a = 1/5 <=> a = 1/15
y(t) = c₁e^t + c₂e^-t + 1/15 e^2t
y(0) = c₁ + c₂ + 1/15 = 1/5 <=> c₁ + c₂ = 2/15
y'(0) = c₁ - c₂ + 2/15 = 2/5 <=> c₁ - c₂ = 4/15
c₁ = 1/5
c₂ = -1/15
Quindi y(t) = 1/5 e^t - 1/15 e^-t + 1/15 e^2t
y(1/2 ln 5) = 1111