Esercizi di Analisi 1 con Soluzioni

ANALISI 1

ESERCIZI

A NALISI 1

E SERCIZI

P A R T E 1

E S E R C I Z I

1)

A = {z ∈ ℂ : (z⁴ + 1) = 0}

B = il più piccolo convesso che contiene A

Allora B = ?

2)

f(x) = sinh(e^2x2)

y = q(x) equazione della retta tangente al grafico di f in (0,0).

Allora q(1) = ?

3)

f(x) = ^ex/_{1 + x²}

Quali di queste sono vere?

1. f limitata
2. f pari
3. f non-decrescente
4. f ≥ 0

4)

f(x) = atan(x²), g(x) = |cos x|

h(x) = min {f(x), g(x)}

1. h pari
2. f + g - h è limitata
3. f°g ≥ 0
4. h ≤ f + g

5)

\[\lim_{{x \to 0}} \left( \frac{\ln (1 + \sin x)}{1 - \cos 2x} + \frac{\sin (\arctan x^2)}{(-\ln x) \cos x} \right) = ?\]

6)

\[\lim_{{x \to \pi}} \left( \frac{(\sin^2 x)^2}{1 + \cos x} - \frac{\ln (1 + x - \pi)}{(x - \pi)^2} \right) = ?\]

7)

\( q(x) = x e^x \, , \, f(x) = \arctan x^2 \)\]\[h = f \circ q. \text{ Allora } h'(0) = ?\]\[h'(1) = ?\]

8)

\( f(x) = x^3 + x, \, g \text{ inversa di } f \)\]\[\text{Allora } g'(2) = ?\]

9)

\( q(x) = x \ln x, \, G \text{ primitiva di } q \)\[\text{tale che } G(1) = 1. \text{ Allora } G(2) = ?\]

10)

\( f(x) = x^2 e^{-x} + \arctan x^3 \)\[\text{Allora } f''(1) = ?\]

11)

∫₂³ |arctan x| dx = ?

12)

∫_-1¹ (x²sin⁴(sin x) + ln(2-|x|)) dx = ?

13)

∫₂^{+∞ dx}⁄_{x ln(x²)} = ?

14)

∫₀¹ x²e^1⁄x dx = ?

15)

{ 2u'(x) - ¹⁄_x u(x) = 1u(1) = 0 u(0) = ?

16)

{ v''(x) - v'(x) - 2v(x) = tv(0) = 0v'(0) = 1v(1) = ?

17)

{ w''(x) + 4w'(x) + 4w(x) = cos tw(0) = 1w'(0) = 0w''(0) = ?

18)

Risolvere

(𝑥₁^y𝑥₂^y) = (^{3 2}⁄_{-2 -2}) (v₁^yv₂ ^y)

PARTE 1

SOLUZIONI

1)

Kur B = 2

2)

f'(x) = \cos x \ e^{2x^2} + \sin x \ (4x \ e^{x^2})f'(0) = 1g(x) = x \quad \Longrightarrow \quad g(1) = 1

3)

1. no \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
2. no \quad f(1) = e + \frac{1}{e} \ne f(-1)
3. sí

f'(x) = \frac{-e^x \ 2x + e^x \ (1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} == \frac{e^x \ (x-1)^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0

4)

1. sí \quad min \{ x^2, \cos x | \} \quad i rischi punti minimi con pari
2. sí \quad non tutta derivabile
3. sí \quad f(r) \ge 0 \quad quella r \ge 0
4. sí \quad h \le f, \quad 0 \le g \quad \Longrightarrow \quad h \le f + g

5)

= \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\sin x + o(x)}{4x^2/2 + o(x^2)} \right) + \frac{\sin (a\pi x^2)}{(-\sin x) \cos x}

= +\infty + 0 = +\infty

6)

H \quad \lim_{x \to -\pi^+} \left( \frac{2 \sin x \ \cos x}{-\sin x} - \frac{1}{1 + x - \pi} \quad \frac{1}{2 \ (x-\pi)} \right)

= 2 - \infty = -\infty

7)

h(x) = arctan ^x²/_e^2x

h'(x) = ¹/_{1 + x⁴ e^4x} (2x e^2x + 2x² e^2x)

h'(0) = 0

h'(1) = ¹/_{1 + e⁴} (2e e²)

g'(x) = (1 + x) e^x

h'(0) = f'(g(0)) g'(0) = 0

h'(1) = f'(g(1)) g'(1) = ^2e/_{1 + e⁴} 2e = ^4e2/_{1 + e⁴}

8)

f(x) = x³ + x

q = f^-1

g'(2) = ¹/_f'(yq)

f(q) = 2 = y³ + y ⇒ y_q = 1

= ¹/_{3y² + 1} = ¹/₄

9)

g(x) = x ln x

∫x ln x dx = ^{x² ln x}/₂ - ∫x dx = ^{x² ln x - x² + c}/₂

g(G(x)) = ^{x² ln x - x}/₂ + c

{ G(1) = 1

-1 + c = 1 ⟹ c = ⁵/₄

G(x) = ^{x² ln x - x}/₂ + ⁵/₄ ⟹ G(2) = 2 ln 2 + ¹/₄

10)

f(x) = x² e^-x + arctan x³

f'(x) = 2x e^-x - x² e^-x + ¹/_{1 + x⁶} 3x²

f'(x) = 2e^-x - 2x e^-x - 2xe^-x + x² e^-x + ^{6x (1 + x6) - 6x 5.3x²}/_(1+x⁶)²

f'(1) = ²/_e - ²/_e + ¹/_e + ^{12 - 18}/_2²

= -¹/₂ = ³/₂

11)

∫³₂ arctan t dt = [x arctan x]³₂ - ∫³₂ x/1 + x² dx

= [x arctan x]³₂ - ¹/₂ [ln (1 + x²)]³₂

12)

∫₁² (x² sin (x ln x) + ln (2−ln(1)) dx =

= 2 ∫₀¹ ln (2−x) dx = 2 [x ln (2−x)]₀¹ + 2 ∫₀¹ x / (2−x) dx

= 2 ∫₀¹ (−1) dx + 2 ∫₀¹ 2 / (2−x) dx =

−2 + 4 [−ln (2−x)]₀¹ = −2 + 4 ln 2

13)

∫₂^+∞ dx / (x ln x²) dx = lim_H→+∞ [1/2 ln (ln x²)]₂^H = +∞

14)

∫₀^∞ x² e^1/x dx = ∫₁^+∞ e^t dt = lim_t→∞ [1 / t²] = +∞

15)

u'(x) = e^{∫ 1/2x dx} ∫ 1/2 e^−5ln2 =

= e^{1/2 ln x} ∫ 1/2 e^{−1/2 ln x}

= √x / 2 ∫ 1 / √x

= x + c √x

u'(1 − 1/2x) u = 1 + c / 2 √x − 1 / 2x x

c / √x = 1/2

u(1) = 1 + c = 0 ⇒ c = −1 ⇒ u(x) = x − √x ⇒ u(0) = 0

16)

λ² − λ − 2 = 0

(λ−2)(λ+1) = 0

√x f_c(t) = c₁ e^2t + c₂ e^−t

u(t) = αx + β = 1/4

−2α = 1 ⇒ α = −1/2

v(t) = c₁ e^2t + c₂ e^−t − 1/2 t + 1/4

{ c₁ + c₂ + 1/2 = 0 c₂ = −5/12 }

v(t) = 5/12 e^2t + 1/2 + 1/4

v(t) = 5/12 e^2t e^−2/3 e^−1/2 + 1/4

17)

λ² + 4λ + 4 = 0 (λ + 2)² ⟹ w(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x + wₚ(x) wₚ(x) = αcosx + β2xsinx -αcosx - β2xsinx + 4αsinx + 4βcosx + 4β2xsinx + 4β2xsinx = cosx -α + 4β + 4α = 1 ☞ 3α + 4β = 1 -β - 4α + 4β = 0 ☞ -4α + 3β = 0 { 25/3α = 1 ☞ α = 3/25 { β = 4/3α ☞ β = 4/25 w(x) = c₁e^-2x + c₂xe^-2x + 3/25cosx + 4/25sinx wʹʹ(0) = cos0 - 4wʹ(0) - 4w(0) = 1 - 4⋅0 - 4⋅1 = -3

18)

1. (3 2; -2 -2)(v₁; v₂) = (2v₁; 2v₂)
2. 3v₁ + 2v₂ = 2v₁
3. -2v₁ - 2v₂ = 2v₂
4. v₁ + 2v₂ = 0
5. -2v₁ - 4v₂ = 0

1. (3 2; -2 -2)(v₁; v₂) = (-v₁; -v₂)
2. 3v₁ + 2v₂ = -v₁
3. -2v₁ - 2v₂ = -v₂
4. 4v₁ + 2v₂ = 0
5. -2v₁ - v₂ = 0

y(x) = c₁(2; -1)e^2x + c₂(1; -2)e^-x

P A R T E 2ESERCIZI

Esercizi di riepilogo

Le risposte potrebbero non essere uniche!

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{x \sin (1 - e^{x})}{\cos 2x - 1} = \Box\)

2. \(\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{1}{2} (\cos 3x^{2})^{x} \right] + \frac{1}{\arctan (\ln \frac{1}{x})} = \Box\)

3. Sia \(y = g(x)\) l'ep. della retta tangente alla curva \(y = \tan(x^{2}) + x\) nel punto \((0,0)\). Allora \(g(2) = \Box\)

4. Sia \(A = \{ z \in \mathbb{C} : z^{3} + iz = 0 \} \)

   Allora \(\sup \{ |z| : z \in A \}\) + \(\inf \{ 2|z| : -z \in A \} = \Box\)

5. Sia \(f(x) = \int_{0}^{x} \lfloor t \rfloor dt\). Allora \(f(3) + f'(12) = \Box\)

6. Sia \(f(x) = xe^{-x^{2}}\) e \(x_{m}, X_{M}\) rispettiv. l'unico p.to di minimo e massimo di f.

   Allora \(f(x_{m}) \cdot x_{M} = \Box\)

7. Sia \(f(x) = \min \left\{ \frac{1}{x^{2}}, 1 \right\}\). Allora \(\int_{-\infty}^{2} f(t) dt = \Box\)

8)

I = ∫_-1¹ cos x² arctan x³ + |x| arctan|x|dx

Allora I = □

9)

Sia u sol. d'i

• x u'(x) + U(x) = x²
• U(1) = 1

Allora U(2) = □

10)

Sia y la soluzione di

• y''(t) - y'(t) = e^2t
• y(0) = 1/5
• y'(0) = 2/5

Allora y(¹/₂ ln 5) = □

11)

Sia U la sol. di:

• ∫U'(x) = ¹/_x(1 + U²(x))
• U(e) = ¹/_√3

in un intorno di e.

Allora U'(e) + U(⁵/₂) = □

PARTE 2

SOLUZIONI

Soluzioni

1. _limx→0 ^{x sin(1 - ex)}/_{cos 2x - 1} =

   _limx→0 ^{x sin(-x - x2/_2! - ...)} =

   _limx→0 ^{-(2x)2/_2! + ...}/_{x² + ...} = -¹/_{4x² / 2} = ¹/₂

2. _limx→+∞ ^{0 + 1/_{arctan(ln 1/x)}}

   ¹/_{arctan(limx→+∞ ln(¹/x))}) =

   ¹/_arctan(-∞) = -²/_π

3. f(x) = tan(x²) + x

   f'(x) = ¹/_cos²(x²) ⋅ 2x + 1

   f'(0) = ¹/_cos²(0) ⋅ 2⋅0 + 1 = 1

   g(x) = 1(x - 0) + 0 = x

   g(2) = 2

h)

z³ + iz = z (z² + i)

A = {0, ± (-^√2/₂ + ^√2/₂ i)}

sup{|z| : z ∈ A } = 1

inf{|z| : -z ∈ A } = 0

5)

f(3) = A_rea = 1 + 2 = 3

f'(^√2) = [^√2] = 1

f)

f'(x) = e^-x2 + x ⋅ e^-x(-2x) =

= e^{x2 (1 - 2x2)} → x_m, x_M = ± ¹/_√2

ma f(-¹/_√2) < 0 ∈ f(¹/_√2) quindi

x_M = -¹/_√2, x_M = ¹/_√2 ⋅ f'(¹/_√2) ¹/_√2 = -¹/₂ e^-1/₂

7)

∫_-∞² f(t) dt = ∫_-∞^-1 f(t) dt + ∫_-1¹ f(t) dt + ∫₁² f(t) dt

∫_-∞^-1 f(t) dt = lim_a→-∞ [-¹/_t]¹_a = +1

∫_-1¹ f(t) dt = ∫_-1¹ 1 dt = 2

∫₁² f(t) dt = [¹/_t]²₁ = -¹/₂ + 1 = ¹/₂

Quindi: ∫_-∞² f(t) dt = 1 + 2 + ¹/₂ = ⁷/₂

8)

I = ∫₀¹ (cos x² ar tan x³ + |x| arcta n|x|) dx

I = 2 ∫₀¹ x ar tan x dx = 2 [^x2/₂ ar tan x]¹₀ - 2 ∫₀^{1 x2}/₂ ¹/_{1 + x²} dx = ^π/₄ - ∫₀^{1 x2 + 1}/_{1 + x²} + ∫₀^{1 1}/_{1 + x²}

= ^π/₄ - 1 + ^π/₄ = ^π/₂ - 1

9)

u'(x) + ¹/_x u(x) =

A(x)

A(x) - ∫₁^{x 1}/_t dt = ln x

u(x) = e^{-ln x} ∫ x e^{ln x} dx

= ¹/_x ( ^x3/₃ + C)

u(1) = ¹/₁ ( ¹³/₃ + C) = 1 ↔ C = ²/₃

u(2) = ¹/₂ ( ²³/₃ + ²/₃ )= ¹/₂ ¹⁰/₃ = ⁵/₃

10)

λ² - 1 = 0 → λ₁ = 1 λ₂ = -1

y_h(t) = c₁ e^t + c₂ e^-t

y_p(t) = a e^2t

y''_p(t) - y_p(t) = 4a e^2t - a e^2t

-e^2t ↔ 3a = ¹/₅

a = ¹/₁₅

y(t) = c₁ e^t + c₂ e^-t + ¹/₁₅ e^2t

y(0) = c₁ + c₂ + ¹/₁₅ = ¹/₅ ↔ c₁ + c₂ = ²/₁₅

y'(0) = c₁ - c₂ + ²/₁₅ = ²/₅ ↔ c₁ - c₂ = ⁴/₁₅

c₁ = ¹/₅

c₂ = -¹/₁₅

quindi y(t) = ¹/₅ e^-t - ¹/₁₅ e^-t + ¹/₁₅ e^2t

y(¹/₂ ln 5) =