ANALISI 1
Compiti diEsame svolti
VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021
ANALISI 1
Compiti di
Esame svolti
VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021
ESERCITAZIONE
limx → ∞ x [ln(x+1) - ln(x)] = limx → ∞ x [ln((x+1)/x)] = limx → ∞ x [ln(1 + (1/x))] = 1 limx → ∞ (1 + (1/x))x = limy → 0 (1 + y)1/y y = 1/x ⇒ x → ∞ y → 0
ESERCITAZIONE
radice 3 di
z = 1 + i√3
z = x + yi
z = r (cos α + i sen α)
|z| = √(x² + y²)
r → Modulo
r = |z|
|z| = √4 = 2
α = Tan-1 (√3/1) = 60° = π/3
z = 2 [cos (π/3) + i sen (π/3)]
√3 z = √3 r (cos (θ + 2kπ)/n) + i sen ((θ + 2kπ)/n)
Metodo T cartes → √3 z?
√3 z = √3 2 [cos (π/3 + 2πk/3) + i sen (π/3 + 2πk/3)]
√3 z = √3 2 [cos (π/9 + 2πk/9) + i sen (π/9 + 2πk/9)]
k = 0 ∧ k = 1 ∧ k = 2
[k = 0, …, n-1]
k = 0
√3 z = √2 [cos (π/9) + i sen (π/9)]
k = 1
√3 z = √2 [cos (π/9 + 2πk/3) + i sen (π/9 + 2π/9)]
√3 z = √2 [cos (π + 6π/9) + i sen (7π/9)]
ESERCITAZIONE
f(x) = f(x0) + f'(x0) (x - x0) 1/1! + f''(x0) (x - x0)2/2! + f'''(x0) (x - x0)3/3! + ... + fm(x0) (x - x0) m/m!
f(x) = 1/1 + x
Sviluppo in serie di Taylor
per x0 = 0 ordine n = 2
f'(x) = -1/(1 + x)2
f''(x) = +2(1+x)/(1+x)4
f'(x0) = -1/1 = -1
f''(x0) = 2
f(x0) = 1
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + f''(x0)(x - x0)2/2!
f(x) = 1 + (-1)(x)/1! + 2(x)2/2!
f(x) = 1 - x + x2
Questa è la funzione
approssimata attraverso
lo sviluppo in serie Taylor
Vincenza Sciortino, Analisi 1 2021
ESERCITAZIONE
f(x) = ln x/3 ln(x) - 1
DOMINIO
- x > 0
- 3 ln x - 1 ≠ 0
- x > 0
- x3 ≠ e
- x > 0
- x ≠ 3√e
f(x) = ln x/ln(x2) + 1
- x > 0
- x ≠ 3
- ln(x2) + 1 ≠ 0
ln 1 = 0
lna = 1
logb a = e/a
e0 = 1
e2 = e
DOMINIO
∀ x ∊ ℝ : x > 0 - { 3√e }
[0; 3√e [ ∪ [3√e ; x ∈
N2 pari né dispari
ESERCITAZIONE
INTERSEZIONI
Assi y non c'è intersezione (escluso dal dominio)
y = 0
ln(x1) = 0
X = 1
ln(x) = ln(1)
ln(x) = 0/2
ln(x) = ln(a)
{y=0X=1Puntointersezione
ln(a) = 0e0 = a = 1
POSITIVITÀ
ln(x)---------3ln(x) - 1 > 0
{ln(x) > 03ln(x) - 1 > 0
{x > 1ln(x3) > 1
X > 1ln(x3) > lne > x > 3√e
f(x) è positivo per ]0;1[
f(x) è negativo per [1;3√e[
f(x) è positivo per ]3√e;+∞[
ESERCITAZIONE
LIMITI
limx→0 ln(x)/3ln(x) - 1 = limx→0 ln(x)/ln(x)(3 - 1/ln(x)) = limx→0 1/3 - 1/ln(x) = 1/3
limx→3√e ln(x)/3ln(x) - 1 = ∞ ASINTOTO VERTICALE
limx→3√e ln(3√e)/3ln(e1/3) - 1 =limx→3√e ln(3√e)/3/3 ln(e) - 1
limx→∞ ln(x)/3ln(x) - 1 = limx→∞ ln(x) * 1/ln(x)(3 - 1/ln(x)) = 1/3 ASINTOTO ORIZZONTALE y = 1/3
ESERCITAZIONE
DERIVATE
Ricerca la presenza di eventuali punti di massimo/minimo
f(x) = ln(x)/3ln(x)-1
f'(x) = 1/x(3ln(x)-1) - (3/x)(ln(x))/(3ln(x)-1)2
f'(x) = 3ln(x)-1 - 3ln(x)/x(3ln(x)-1)2 = - 1/x(3ln(x)-1)2 > 0
- -1 ≥ 0 Non è verificato
- x > 0
- (3ln(x)-1)2 > 0
- x < 3√e
ESERCITAZIONE
(1,0)
y: 1/3
y e
ESERCITAZIONE
VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021
cos x - 3/sen2x - cos2x + 1 sen x dx
= ∫cos x sen x - 3 sen x/sen2x - cos3x + sen2x + cos2x dx
= ∫cos x sen x - 3 sen x/2 sen2x - cos3x + cos2x dx
= ∫cos x sen x - 3 sen x/2 - cos2x - cos2x dx
2 sen2x = 2 - 2 cos2x
sen2x = 1 - cos2x
= ∫t √1-t2 - 3 √1-t2/2 - t2 - t2 · 1/(√1-t2) dt
cos x = t
x = arccos t
dx = d(arccos t) = -1/√1-t2 dt
sen(arccos t) = √1-t2
= ∫-t + 3/2 - t3 - t2 dt
Poi utilizzando Hermite
ESERCITAZIONE
∫ (x2 + 5x - 1) / (x³ + x² - 2) dx
x³ + x² - 2 → Ruffini
1 è il numero che annulla il polinomio
(x - 1) primo passo di scomposizione
x2 + 2x + 2 → non è scomponibile
∫ (x2 + 5x - 1) / (x³ + x² - 2) dx = ∫ (A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + 2x + 2)) dx
VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021
ESERCITAZIONE
A(x2 + 2x + 2) + (Bx + C)(x - 1) = x2 + 5x - 1
x2(4 + B) + x(2A - B + C) + 2A - C
ESERCITAZIONE
- 4B = 1
- 2A - B + C = 5
- 2A - C = -1
- A = 1 - B
- 2 - 2B - C = -1
- 2 - 2B + C - B = 5
- C = 5 - 2 + 3B = 3 + 3B
- 2 - 2B - 3 - 3B = -1
- A = 1 - B
- -5B - 1 = -1
- C = 3
- A = 1
- B = 0
- C = 3
- A = 1
- x2 + 5x - 1 x3 + x2 - 2
ESERCITAZIONE
= ∫ 1/x-1 + 3/x2+2x+2 dx
x2+2x+1 - 1 + 2
(x+1)2 + 1
∫ 1/x2+1 dx = atan x + c
∫ 1/4x2+1 dx = 1/2 atan(2x) + c
VINCENZA SCIORTINO, ANALISI 1 2021
ESERCITAZIONE
f(x) = x2 - 2x + 4g(x) = 4x2 + 2xVerificare il Teorema di Lagrangein [1,3]
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