Esercizi analisi matematica 1

1.4 Intervalli, max/min, sup. inf.

[0,1] =

(-2,1] =

(-1/2, 3/2) =

(-∞, -1) =

[-1, +∞) =

Intersezioni uni

[0,1] ∩ (-1/2, 3/2) = [-1/2, 1]

(0,1) ∪ (-1/2, 3/2) = (-1/2, 3/2)

(-2, 1] ∩ (2, 3) = ∅

(-2, 1] ∪ (2, 3) = (-2, 1] ∪ (2, 3)

(-∞, 1) ∪ [1, +∞) =

1.4.2 Max, min

[a, b] ⟹ ha max = b

Min = a

(a, b] ⟹ ha max = b

ma non ha min

[a, b) ⟹ ha min = a

ma non ha max

(a, b) ⟹ non ha né max né min

1.4.3 Sup, inf

[1, 3) ∩ (2, 4) (2, 3)

non ha né minimo né mass

Esup = 3

Einf = 2

(-1, 3) ∩ [-2, 0) ∩ (1, 2]

[-1, 0) ∪ [0, 1] (0, 1)

[-1, 2) ∩ [2, 4) ∅

[1, 3) ∪ (4, 5) (1, 3)

[-1, 0) ∪ {4} (4)

[1, 3) \ {2}

Mass = Esup = 3

Min = Einf = 1

Mass = Esup = 4

Min = Einf = -1

1.4 Intervalli, max, min, sup, inf

[0,1] = 0_____1

(-2,1] = -2_____1

(-1/2, 3/2) = -1/2_____3/2

(-∞, -1) -∞_____

(-1, +∞) -1 M → √(n+1) > log₂ M → n+1 > (log₂ M)^1/2 → n > (log₂ M)^1/2 - 1 → N

Limiti e successioni

lim_n→∞ n²/log₃ n = ∞

lim_n→∞ ^A/_{log3 n} = 0

lim_n→∞ [ (1+ ¹/_n ) ]ⁿ = [ (1 + ¹/_n )ⁿ ]^1/n = e¹ = e⁰ = 1

Qn = n - 3 ln n

lim_n→∞ n - 3 ln n = lim_n→∞ n(1-^3lnn/_n) = +∞ → divergente

detto che . . . ¹/_n → 0

lim_n→∞ = ³/_n=ⁿ/n+1

lim_n→∞ (¹/_{n³ + 1}) = 0 → convergente

Cn = ^1+2+...+n/_{n² + 1}

lim_n→∞ ^1+2+...+n/_{n² + 1} = k(^n-1/₂)/n² + 1 → ²/_n(n+2) ¹/₄ ¹/_2n → ¹/₂

lim_n→∞ ^{4lnn - √n}/_3(√n+2) ~ √n = ^√n/_3(√n) 4lnn - √n ~ √n

lim_n→∞ ^{n2 + 3}/_{2ⁿ + 3n} ~ ⁿ²/_2ⁿ → 0

det_tende ad infinito più velocemente

^{2n + 3n}/_2ⁿ → 4 ³ⁿ/_2ⁿ → 1