Esercitazioni Analisi 2

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 1

Analisi Matematica II

Serie di Fourier – domini di funzione

Serie di Fourier

Esercizio 1.1

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-rier, dedurre il valore della serie 1X h( 1) .2h + 1h=0

Esercizio 1.2

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,( >se⇡ x 08x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = se⇡ x < 0.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-rier, dedurre il valore della serie 1X h( 1) .2h + 1h=0

Esercizio 1.3

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,( 6se2 ⇡ x< 0f (x) = 6se1 0 x < ⇡.Calcolare la serie di Fourier di .f 1

Esercizio 1.4

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡), f (x) =

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-rier, dedurre il valore della serie 1X 1 .2(2h + 1)h=0

Esercizio 1.5

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x .

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-rier, dedurre il valore della serie 1X 1 .2nn=1

Esercizio 1.6

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [0, 2⇡), f (x) = x ⇡x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fou-rier, dedurre il valore della serie 1X n+1( 1) .2nn=1

Esercizio 1.7

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡), f (x) = ⇡

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Discutere la convergenza della serie su R.2

Esercizio 1.8

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = sin x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Discutere la convergenza della serie su R.

Esercizio 1.9

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 |[ ⇡, ⇡), f (x) = sin x|.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Esercizio 1.10

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,( 6sex ⇡ x< 0f (x) = 6se1 0 x < ⇡.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f
• B) Discutere la convergenza della serie su R.

Esercizio 1.11

Sia data la funzione su Dopo averla prolungata Esercizio 1.11. 2 2f (x) = ⇡ x [0, ⇡].in modo dispari su e poi per periodicità su tutto determinare la serie diR,( ⇡, 0) 2⇡Fourier associata e discuterne la convergenza su R.

Esercizio 1.12

Sia data la funzione Verificare se è una Esercizio 1.12. f (x) = 2 + sin(x) + 3 cos(2x).funzione periodica di periodo e determinarne la serie di Fourier associata.2⇡,

Domini di funzione

Esplicitare il dominio delle seguenti funzioni reali di due variabili reali Esercizio 1.13.e rappresentarlo graficamente nel piano.p

• A) 2a(x, y) = (x y)(x y);p
• B) 4 2 2b(x, y) = y (x y );p 24 y x + 4
• C) ;c(x, y) = y x +2p
• D) 2 2 2d(x, y) = (x y + 1)(x 1); 3
• E) ;x 2e(x, y) = log (y e )(x y + 1)
• F) (non fare casi particolari per razionale);yf (x, y) = log log(x ) y|x| |y|))log(arctan(2
• G) ;pg(x, y) = 2x 1arccos(y x) ;
• H) ph(x, y) = 2 24 x 4y
• I) 2 2i(x, y) = log(sin(⇡(x + y )));p
• J) 2 2j(x, y) = cos(x + y );p 2x xy
• K) ;k(x, y) = 2 2log(1 x y ) ex 1
• L) ;l(x, y) = y + log x p1p
• M) ;2 2 2m(x, y) = (4 y ) + (y x )2plog(x y x)
• N) ;n(x, y) = xy 1p1 + y(sin x 1)
• O) ;po(x, y) = 1 x(x 10)p 2 ⇡sin(2y) + (4 y )
• P) ;p(x, y) = 2 2x y2 + arccos ep⇥ ⇤ 1 22 2sin ⇡ x + y + log(3x x )2
• Q) ;pq(x, y) = 29 y✓ ◆ 1/41
• R) .r(x, y) = 1 xy 4

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 1

Analisi Matematica II

Serie di Fourier – domini di funzione

Serie di Fourier

Esercizio 1.1

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:1. y⇡ x⇡⇡ ⇡

La funzione è “dispari” quindi la sua serie di Fourier è della forma 1XSf (x) = b sin(kx).kk=1

Si ricorda che “dispari” significa dispari tranne al massimo per un numero finito dipunti di un periodo, in questo caso ±⇡.x =

I coefficienti si possono calcolare usando la formulab k Z Z⇡ ⇡1 1> dx dxN,8k 2 k 1, b = f (x) sin(kx) = x sin(kx)k ⇡ ⇡⇡ ⇡1 Z⇡ ⇡1 1 dx= x cos(kx) + cos(kx)k⇡ k⇡ ⇡⇡k+1( 1)=2 .k

La serie di Fourier di è quindi f 1X k+1( 1)Sf (x) = 2 sin(kx).kk=1

• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X n( 1) .2n + 1n=0

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su ef [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡)lim f (x) = ⇡x!⇡lim f (x) = ⇡+x!( ⇡) 0 0lim f (x) = lim f (x) = 1.+x!⇡ x!( ⇡)

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò ⇡ < x < ⇡, 1X n+1( 1)x =2 sin(kx).nk=1

In particolare, per , abbiamo ⇡x = 2 ✓ ◆1X n+1⇡ ( 1) k⇡=2 sin .2 n 2k=1

Siccome 8 9se0 k = 4h >> (> >✓ ◆ < = sese 0 k = 2nk⇡ 1 k = 4h + 1sin = =se se0 k = 4h + 2> > n2 ( 1) k = 2n + 1,> >: ;se1 k = 4h + 3abbiamo ✓ ◆1 1X Xk+1 n( 1) k⇡ ( 1)sin =k 2 2n + 1n=0k=1per cui 1X n( 1) ⇡= .2n + 1 4n=0 2

Esercizio 1.2

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,( >se⇡ x 08x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = se⇡ x < 0.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:2. y⇡ x⇡⇡ ⇡

La funzione è “dispari” quindi la sua serie di Fourier è della forma 1XSf (x) = b sin(kx).kk=1

Si ricorda che “dispari” significa dispari tranne al massimo per un numero finito dipunti di un periodo, in questo caso e ±⇡.x = 0 x =

I coefficienti si possono calcolare usando la formulab k Z Z⇡ ⇡1 2> dx dxN,8k 2 k 1, b = f (x) sin(kx) = f (x) sin(kx)k ⇡ ⇡⇡ 0Z ⇡⇡ 2dx=2 sin(kx) = cos(kx)k0 0k+11 + ( 1)=2 .n

Osserviamo che, per N,2n b = 02n 4b = .2n+1 2n + 13La serie di Fourier di è quindif 1X sin((2n + 1)x)Sf (x) = 4 .2n + 1n=0

• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X n( 1) .2n + 1n=0

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su ef [ ⇡, ⇡], ( ⇡, 0) (0, ⇡)e lim f (x) = lim f (x) = ⇡+x!⇡ x!0lim f (x) = lim f (x) = ⇡+x!0 x!( ⇡)0 0 0 0lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 0.+ +x!⇡ x!0 x!0 x!( ⇡)

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò 0 < x < ⇡, 1X sin((2n + 1)x)⇡ =4 .2n + 1n=0

In particolare, per , abbiamo ⇡x = 2✓ ◆ ⇣ ⌘1 1 1X X X n⇡ 1 (2n + 1)⇡ 1 ⇡ ( 1)= sin = sin + n⇡ = .4 2n + 1 2 2n + 1 2 2n + 1n=0 n=0 n=0

Esercizio 1.3

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,( 6se2 ⇡ x< 0f (x) = 6se1 0 x < ⇡.Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:3. y21 x⇡⇡ 4

La serie di Fourier della funzione è della forma ⇣ ⌘1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx) + b sin(kx) ,k k2 k=1,dove i coefficienti e si possono calcolare usando le formulea bk kZ Z Z⇡ 0 ⇡1 2 1dx dx dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx) = cos(kx) + cos(kx)k ⇡ ⇡ ⇡⇡ ⇡ 0Z Z Z⇡ 0 ⇡1 2 1dx dx dx.b = f (x) sin(kx) = sin(kx) + sin(kx)k ⇡ ⇡ ⇡⇡ ⇡ 0>Se k 1,  0 ⇡2 1a = sin(kx) + sin(kx)k k⇡ k⇡⇡ 0= 0.  0 ⇡2 1b = cos(kx) cos(kx)k k⇡ k⇡⇡ 02 cos(k⇡) 2 + 1 cos( k⇡) 1 k= = 1 ( 1)k⇡ k⇡( se è dispari2 kk⇡= se è pari.0 kInoltre a = 3.0

La serie di Fourier di è quindi f 1X3 2 sin((2n + 1)x)Sf (x) = .2 ⇡ 2n + 1n=0

Osserviamo che la funzione è quasi “dispari” nel senso che è “dispari”, cioè32f (x)dispari tranne nei punti della forma con La sua serie di Fourier è quindiZ.2x = h⇡ hpiù la serie di Fourier di una funzione dispari.32

Esercizio 1.4

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡), f (x) =

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione: 54. y321 x⇡⇡

La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma 1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx).k2 k=1

I coefficienti si possono calcolare usando la formulaa k Z Z⇡ ⇡1 2dx dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx) = f (x) cos(kx)k ⇡ ⇡⇡ 0Z ⇡2 dx= x cos(kx)⇡ 0>se k 1,  Z⇡ ⇡2 2 dx= x sin(kx) sin(kx)k⇡ k⇡ 00 Z ⇡⇡2 2dx= sin(kx) = cos(kx)2k⇡ k ⇡0 02 k= (( 1) 1).2k ⇡>Osserviamo che, per n 0, tranne sea = 0 n = 02n 4a = .2n+1 2(2n + 1) ⇡Inoltre Z ⇡2 dxa = x = ⇡.0 ⇡ 0Abbiamo quindi 1X⇡ 4 1Sf (x) = + cos((2n + 1)x).22 ⇡ (2n + 1)n=06

• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X 1 .2(2n + 1)n=0

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su continuaf [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡),su eR 0lim f (x) = 1x!⇡ 0lim f (x) = 1.+x!( ⇡) 6 6

La funzione è continua su per cui, seR,f ⇡ x ⇡,1X⇡ 4 1|x| = cos((2n + 1)x).22 ⇡ (2n + 1)n=0

In particolare, per abbiamox = 0, 1X2⇡ 1= .28 (2n + 1)n=0

Esercizio 1.5

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = x .

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:5. y2⇡ x⇡⇡

La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma 1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx).k2 k=17

I coefficienti si possono calcolare usando la formulaa k Z Z⇡ ⇡1 1dx dxN, 28k 2 a = f (x) cos(kx) = x cos(kx)k ⇡ ⇡⇡ ⇡>se k 1,  Z⇡ ⇡1 2 dx2= x sin(kx) x sin(kx)k⇡ k⇡ ⇡⇡Z ⇡2 dx= x sin(kx)k⇡ ⇡ Z⇡ ⇡2 2 dx= x cos(kx) cos(kx)2 2k ⇡ k ⇡ ⇡⇡k4( 1)= .2kInoltre Z ⇡ 21 2⇡dx2a = x = .0 ⇡ 3⇡

La serie di Fourier di è quindi f 1X2 k⇡ ( 1)Sf (x) = +4 cos(kx).23 kk=1

• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X 1 .2kk=1

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su continuaf [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡),su eR 0lim f (x) = 2⇡x!⇡ 0lim f (x) = 2⇡.+x!( ⇡)6 6

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò ⇡ x ⇡, 1X2 k⇡ ( 1)2x = +4 cos(kx).23 kk=1

In particolare, per abbiamox = ⇡, 1X22⇡ 1=4 ,23 kk=18per cui 1X 21 ⇡= .2k 6k=1

Osserviamo che, valutando in si trova chex = 0,1X k+1 2( 1) ⇡= .2k 12k=1

Esercizio 1.6

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [0, 2⇡), f (x) = x ⇡x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:6. y22⇡ 2⇡ x⇡⇡ 2⇡

La serie di Fourier della funzione è della forma ⇣ ⌘1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx) + b sin(kx) ,k k2 k=1,dove i coefficienti e si possono calcolare usando le formulea bk kZ 2⇡1 dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx)k ⇡ 0Z 2⇡1 dx.b = f (x) sin(kx)k ⇡ 0 9>Se k 1, Z 2⇡1 dx2a = x ⇡x cos(kx)k ⇡ 0 Z2⇡ 2⇡1 1 dx2= x ⇡x sin(kx) (2x ⇡) sin(kx)k⇡ k⇡ 00 Z2⇡ 2⇡1 2 dx= (2x ⇡) cos(kx) cos(kx)2 2k ⇡ k ⇡ 004= .2k Z 2⇡1 dx2b = x ⇡x sin(kx)k ⇡ 0 Z2⇡ 2⇡1 1 dx2= x ⇡x cos(kx) + (2x ⇡) cos(kx)k⇡ k⇡ 00 Z2⇡ 2⇡2⇡ 1 2 dx= + (2x ⇡) sin(kx) sin(kx)2 2k k ⇡ k ⇡ 002⇡= .kInoltre Z 2⇡ 21 2⇡dx2a = x ⇡x = .0 ⇡ 30

La serie di Fourier di è quindi f ✓ ◆1X2⇡ 4 2⇡Sf (x) = + cos(kx) sin(kx) .23 k kk=1

• B) Sfruttando opportunamente il teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier,dedurre il valore della serie 1X k+1( 1) .2kk=1

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su ef [0, 2⇡], (0, 2⇡)2lim f (x) = 2⇡x!(2⇡)lim f (x) = 0+x!0 0lim f (x) = 3⇡x!(2⇡) 0lim f (x) = ⇡.+x!010

Per cui, se la funzione è uguale alla sua serie di Fourier e perciò 0 < x < 2⇡, ✓ ◆1X2⇡ 4 2⇡2x ⇡x = + cos(kx) sin(kx) .23 k kk=1

In particolare, per abbiamox = ⇡, 1X2 k+1⇡ ( 1)= .212 kk=1

Esercizio 1.7

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,8x 2 |x|.[ ⇡, ⇡), f (x) = ⇡

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:7. y321 x⇡⇡

La funzione è pari quindi la sua serie di Fourier è della forma 1Xa 0Sf (x) = + a cos(kx).k2 k=1

I coefficienti si possono calcolare usando la formulaak Z Z⇡ ⇡1 2dx dxN,8k 2 a = f (x) cos(kx) = f (x) cos(kx)k ⇡ ⇡⇡ 0Z ⇡2 dx= (⇡ x) cos(kx)⇡ 0>se k 1,  Z⇡ ⇡2 2 dx= (⇡ x) sin(kx) + sin(kx)k⇡ k⇡ 0011 Z ⇡⇡2 2dx= sin(kx) = cos(kx)2k⇡ k ⇡0 02 k= (1 ( 1) ).2k ⇡>Osserviamo che, per n 0, tranne sea = 0 n = 02n 4a = .2n+1 2(2n + 1) ⇡Inoltre Z ⇡2 dxa = (⇡ x) = ⇡.0 ⇡ 0Abbiamo quindi 1X⇡ 4 1+ cos((2n + 1)x).Sf (x) = 22 ⇡ (2n + 1)n=0

• B) Discutere la convergenza della serie su R.

La funzione è regolare a tratti su infatti è derivabile su continuaf [ ⇡, ⇡], ( ⇡, ⇡),su eR 0lim f (x) = 1x!⇡ 0lim f (x) = 1.+x!( ⇡) ˜

Perciò la serie di Fourier converge puntualmente a per ogni R.2f (x) = f (x) x

Esercizio 1.8

Sia la funzione periodica, di periodo tale che f (x) 2⇡,28x 2 [ ⇡, ⇡), f (x) = sin x.

• A) Calcolare la serie di Fourier di .f

Grafico della funzione:8. y1 x⇡⇡ 12

La funzione &egr