Esercitazione sul calcolo di integrali doppi

Calcolo di integrali doppi su un rettangolo

Calcolo del primo integrale doppio

Calcolare il seguente integrale doppio:

I = ∬_R (x² + y² + 1) dx dy

dove R = [0,2] x [0,2] = {(x,y) ∈ ℝ² : 0 ≤ x ≤ 2 , 0 ≤ y ≤ 2}

∬_R (x² + y² + 1) dx dy = ∫₀² [ ∫₀² (x² + y² + 1) dx ] dy

= ∫₀² [ ^x3/₃ + x y² + x ] ₀² dy

= ∫₀² ( ⁸/₃ + 2 y² + 2 ) dy

= [ ⁸/₃ y + ²/₃ y³ + 2 y ] ₀²

= [ ²/₃ y³ + ¹⁶/₃ y ] ₀²

= ¹⁶/₃ + ²⁸/₃ = ⁴⁴/₃

Calcolo del secondo integrale doppio

Calcolare il seguente integrale doppio:

I = ∬_R (x² + y² + 1) dx dy

dove R = [0,2] x [0,2] = {(x,y) ∈ ℝ² : 0 < x < 2, 0 < y < 2}

∬_R (x² + y² + 1) dx dy = ∫₀² [ ∫₀² (x² + y² + 1) dx ] dy

= ∫₀² [ ^x3/₃ + x y² + x ]²₀ dy

= ∫₀² ( ⁸/₃ + 2 y² + 2 ) dy

= [ ⁸/₃ y + ²/₃ y³ + 2 y ]²₀

= [ ²/₃ y³ + ¹⁶/₃ y ]²₀

= ¹⁶/₃ + ²⁸/₃ = ⁴⁴/₃

Calcolo dell'integrale doppio con logaritmi e arcocoseno

∬_R(ln x)(arccos y) dx dy

R = [1,3]×[0,1] = {(x,y)∈ℝ²: 1≤x≤3, 0≤y≤1}

Poiché f(x, y) = h(x)g(y), possiamo scrivere:

I = ∬_[a,b]×[c,d] f(x,y) dx dy = [∫_a^b h(x) dx][∫_c^d g(y) dy]

Per cui è:

∬_R (ln x)(arccos y) dx dy = [∫₁³ (ln x) dx] [∫₀¹ (arccos y) dy]

Entrambi gli integrali si risolvono per parti:

∫₁³ (ln x) dx = [ x ln x - ∫ x · ¹/_x dx ]₁³

= [ x ln x - x ]₁³ = 3 ln 3 - 3 + 1 = 3 ln 3 - 2.

∫₀¹ ( arccos y ) dy = [ y arccos y - ∫ -y/^√(1-y2) dy ]₀¹

= [ y arccos y - √(1-y²) ]₀¹ = [ 1 · 0 - 0 - 0 + 1 ] = 1

Sostituendo quanto trovato si ha che:

∬_R (ln x)( arccos y ) dx dy = [ ∫₁³ ( ln x ) dx ] [ ∫₀¹ ( arccos y ) dy ] = (3 ln 3 - 2)(1) = 3 ln 3 - 2.