Esercitazione su: Trasformazioni di coordinate, Integrali doppi e tripli (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 10

Analisi Matematica II

Trasformazioni di coordinate, integrali doppi e tripli

Trasformazioni di coordinate

Esercizio 10.1

Determinare la matrice jacobiana della trasformazione

Jf (1; 3; 3)0 12x y@ A2x zf (x; y; z) = 2 2y z

e utilizzare il risultato per calcolare un valore approssimato di f (0,99; 3,02; 2,97).

Esercizio 10.2

Sia una funzione differenziabile e sia

R R,2 !g : g = g(u, v) f (x, y) =2 Esprimere e attraverso le derivate parziali e .@f @f @g @gyg(xe , xy). (x, y) (x, y)@x @y @u @v

Esercizio 10.3

Data una funzione scalare , derivabile e con derivata continua, definita

fin R 2{(u, 2    T = v) : 0 u 4, 0 v 1}

e la funzione definita da

R R2 2!g : 2 2g(x, y) = (x + y , xy)

si determini l’insieme di definizione della funzione composta e si

F (x, y) = f (g(x, y))

calcoli sapendo che

12 12 12 1rF rf( , ) ( , ) = ( 1, 2).4

Esercizio 10.4

Si determini per quali valori la trasformazione

R R R2 22 !↵ T :( xu = e + ↵y↵yv = x + e

è un diffeomorfismo locale. Sapendo poi che è l’unica controimmagine di(0, 0) (1, 1), calcolare la matrice jacobiana dell’inversa in (1, 1).

Esercizio 10.5

Stabilire se le seguenti applicazioni sono diffeomorfismi

R R2 2!F :

locali o globali:

• A) x(u, v) = F (x, y) = (e , x y);
• B) (u, v) = F (x, y) = ( x, y). 1

Integrali doppi

Esercizio 10.6

Calcolare il seguente integrale doppio:

ZZ dxdyxy

Dove è il dominio limitato del piano compreso fra le due curve di equazione 2D y = x 1e y = x +1

Esercizio 10.7

Calcolare i seguenti integrali doppi:

• A) ZZ 2sin y 6 6 6 6 dxdy, con R 2 2{(x, 2 };D = y) : 0 y ⇡, 0 x yyD
• B) ZZ 2 6 > dxdy, con Ry 2 2 2|x|ye {(x, 2D = y) : x + y 1, x 0};D
• C) ZZ 2 6 > dxdy, con Ry 2 2 2|x|ye {(x, 2D = y) : x + y 1, y 0};D
• D) ZZ 1 > 6 dxdy, con ;R x2 2 22D = (x, y) : y , x + y 122 21 + x + yD
• E) ZZ n op 6 6 6 dxdy, con ;R 12 2 22 2 2xy 2x + y D = (x, y) : 0 y x, x + y 1p 3D
• F) ZZ 2y 6 dxdy, con R 2 2 2{(x, 2D = y) : x + y x};2 2x + yD
• G) ZZ 6 > dxdy, con R2 2 2 2{(x, 2x y D = y) : (x 1) + y 1, y 0};D
• H) ZZ 2x 6 6 6 6 dxdy, con R 2{(x, 2 |x|)};D = y) : 2 x 2, 0 y min(1, 22 yD ⇢
• I) ZZ 3 2y x x> 6 > 6 > dxdy, con ;R 2 22D = (x, y) : x 0, y 2x , y , y x, y6x 2 2D
• J) ZZ 2 6 6 6 6 dxdy, con Ry +x 2 2{(x, 2ye D = y) : 0 x 2y , 0 y 1};D
• K) ZZ p1 6 6 6 6 dxdy, con R 2{(x, 2D = y) : 1 x e, 0 y ⇡};2x(1 log x)D
• L) ZZ 2xy 6 > 6 dxdy, con R 2 2 2{(x, 2D = y) : x + y 1, x 0, y 0};2 21 + 2x + 2yD 2
• M) ZZ 6 6m) dxdy, con R R3 2 2 2 2{(x, 2 |x| \ {(x, 2x D = y) : 1} y) : x + y 9};D
• N) ZZ p|y| 6 6 6n) dxdy, con ;R 2 2 22 |y|D = (x, y) : 1 x + y 4x, 3x2 2 2(x + y )D
• O) ZZ po) dxdy, con2 2x + yD > 6R 2 2 2 2 2{(x, 2D = y) : x + y x y 0, x + y 2x 2y 0}.

Esercizio 10.8

Calcolare il seguente integrale doppio

ZZ dxdy(x + y + 1)(x y 1)T

dove è il triangolo di vertici tramite il cambiamento diT A(0, 1), B(3, 2), C(4, 1), variabili:

( u = x + y +1v = x y 1

Esercizio 10.9

Calcolare il seguente integrale doppio, tramite un opportuno cambia-mento di variabili ⇢

ZZ 2x x6 6 6 6dxdy, R 2 22E = (x, y) : 1 x 2, y x2 2x + y 2E

Integrali tripli

Esercizio 10.10

Calcolare i seguenti integrali tripli:

• A) ZZZa) dxdydz, con(x + y + z)D 6 6 6 6 6 6R 3{(x, 2D = y, z) : 0 x 1, 2x y x + 1, 0 z x + y};
• B) ZZZ > > > 6b) dxdydz, con R 3{(x, 2x D = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1};D
• C) ZZZ 6 6c) dxdydz, con R 3 2 2 2 2 2{(x, 2z D = y, z) : x + y + z 4, x + y 3z 0};D
• D) ZZZd) dxdydz, conxyzD > > > > 6R 3 2 2 2 2 2 2{(x, 2D = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1, x + y + z 4}.

Esercizio 10.11

Calcolare il volume del solido

> > > 6R 3{(x, 2P = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + 2y + 3z 1}.3

Esercizio 10.12

Calcolare il seguente integrale triplo (utilizzando le coordinate sferiche)

ZZZ dxdydz > > > 6R 3 2 2 2{(x, 2, V = y, z) : x 0, y 0, z 0, x + y + z 1}.2 2 2x + y + zV

Esercizio 10.13

Calcolare il volume del solido

✓ ◆76 6 6 6 Sol:R 3 2 2 2{(x, 2 |y|S = y, z) : x + y 2, x , 0 z x} 6

Esercizio 10.14

Calcolare il volume della regione interna alla sfera e

2 2 2x + y + z = 6

sopra il paraboloide .2 2z = x + y

Esercizio 10.15

Calcolare il volume di

6 > >R 3 2 2{(x, 2V = y, z) : x + z 4, z y + 1 0, y 4}.4

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 10

Analisi Matematica II

Trasformazioni di coordinate, integrali doppi e tripli

Trasformazioni di coordinate

Esercizio 10.1

Determinare la matrice jacobiana della trasformazione

Jf (1; 3; 3)0 12x y@ A2x zf (x; y; z) = 2 2y z

e utilizzare il risultato per calcolare un valore approssimato di f (0,99; 3,02; 2,97).

In generale 0 122xy x 0@ A22xz 0 xJf (x; y; z) = .0 2y 2z

Nello specifico 0 16 1 0@ A6 0 1Jf (1; 3; 3) = .0 6 60 1 0 1 0 13 0,99 1 0,01@ A @ A @ AAbbiamo e . Un valore approssimato di3 3,02 3 + 0,02f (1; 3; 3) = =0 2,97 3 0,030 1 0 1 0 1·0,01 3 6 0,01 + 0,02@ A @ A @ Aè ·0,02 3 6 0,01 0,03f (0,99; 3,02; 2,97) f (1; 3; 3) + Jf (1; 3; 3) = + =· ·0,03 0 6 0,02 + 6 0,030 12,96@ A .2,910,3

Esercizio 10.2

Sia una funzione differenziabile e sia

R R,2 !g : g = g(u, v) f (x, y) =2 @f @f @g @gEsprimere e attraverso le derivate parziali e .yg(xe , xy). (x, y) (x, y)@x @y @u @v

Sia la trasformazione

R R2 2!T : ⇣ ⌘2yT (x, y) = xe , xy .1

È chiaramente di classe perché tutte le derivate delle componenti di sono prodotti1C Tdi polinomi e esponenziali di polinomi. La sua matrice jacobiana è

✓ ◆2 2y ye 2xyeJT (x, y) = .y x

Abbiamo rf rg(T(x, y) = (x, y))JT (x, y),

per cui @f @g @g2y(x, y) = e (T (x, y)) + y (T (x, y))@x @u @v@f @g @g2y(x, y) = 2xye (T (x, y)) + x (T (x, y)).@y @u @v

Esercizio 10.3

Data una funzione scalare , derivabile e con derivata continua, definita inf2R{(u, 2    T = v) : 0 u 4, 0 v 1}

e la funzione definita da

R R2 2!g : 2 2g(x, y) = (x + y , xy)

si determini l’insieme di definizione della funzione composta e si calcoli

F (x, y) = f (g(x, y))

sapendo che

12 12 12 14rF rf( , ) ( , ) = ( 1, 2).

L’insieme di definizione di èF R 2{(x, 2 2 }.D = y) : g(x, y) T6 6 6

Si tratta quindi delle coppie tali che e Visto che2 2(x, y) x + y 4 0 xy 1. xydeve essere maggiore o uguale a si tratta di punti nel primo e terzo quadrante, assi0, compresi. Osserviamo anche che se allora Ci limitiamo quindi2 2(x, y) D, ( x, y) D.al primo quadrante (ricordando che ci saranno i loro simmetrici rispetto all’origine). Per> > 6 6e per avere ci vuole o . Abbiamo quindi l’asse e i1x 0 y 0, xy 1, x = 0 y yx 6punti al di sotto dell’iperbole . Per concludere, significa che i punti1 2 2y = x + y 4xstanno all’interno della circonferenza di centro l’origine e raggio (bordo compreso).2

Il dominio è quindi l’insieme dei punti all’interno della circonferenza di centroDl’origine, nel primo o terzo quadrante e o sull’asse o tra i due rami dell’iperbole .1y y = x21. y21.510.5 x2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 20.511.52

I punti di intersezione tra circonferenza e iperbole sono i punti con coordinate polari

e ⇡ 5⇡ 11⇡ 7⇡2 { }.⇢ = 2 ✓ , , ,12 12 12 12

La matrice jacobiana di èg

✓ ◆2x 2yJg(x, y) = .y x

La matrice è ovviamente una funzione continua per cui è differenziabile su .R 2g

La funzione è di classe come composizione di due funzioni di classe . È in1 1F C Cparticolare differenziabile in , che appartiene al suo dominio. Possiamo usare la12 12, formula della composizione dei differenziali per calcolare il gradiente di :F

rF r(f rf(x, y) = g)(x, y) = (g(x, y))Jg(x, y)

in particolare in 12 12(x, y) = ( , ),

✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆ ✓ ◆1 1 1 1 1 1 1 1rF rf, = , Jg , = ( 1 2) = (0 0).1 12 2 2 4 2 2 2 2

Esercizio 10.4

Si determini per quali valori la trasformazione

R R R2 22 !↵ T :( xu = e + ↵y↵yv = x + e3

è un diffeomorfismo locale.

La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi1T Cordine sono somme di esponenziali e polinomi.

La matrice jacobiana di èT

✓ ◆xe ↵JT (x, y) = .↵y1 ↵e

Il suo determinante è La trasformazione è un dif-x ↵y x ↵y↵e e ↵ = ↵ (1 + e ). Tfeomorfismo locale intorno ai punti in cui il determinante è diverso da Questo accade0.se e solo se In tal caso, è un diffeomorfismo locale intorno a tutti i punti.6↵ = 0. T

Sapendo poi che è l’unica controimmagine di calcolare la matrice jacobiana(0, 0) (1, 1), dell’inversa in (1, 1).

Abbiamo 1 1JT (1, 1) = (JT (0, 0)) .

Siccome ✓ ◆1 ↵JT (0, 0) = ,1 ↵

vale ✓ ◆1 ↵ ↵1JT (1, 1) = .1 12↵

Esercizio 10.5

Stabilire se le seguenti applicazioni sono diffeomorfismi locali

R R2 2!F :

o globali:

• A) x(u, v) = F (x, y) = (e , x y).

La funzione è evidentemente di classe perché lei e le sue derivate di qualsiasi1F Cordine sono esponenziale e polinomi.

La matrice jacobiana di èF

✓ ◆xe 0JF (x, y) = .1 1

Il suo determinante è . La trasformazione è un diffeomorfismo locale intornoxe Fai punti in cui il determinante &e