Esercitazione su: Integrali di superficie, flusso ed Equazioni differenziali (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 12 Analisi Matematica II

Integrali di superficie, equazioni differenziali

Integrali di superficie

Esercizio 12.1

Determinare il valore del seguente integrale di superficie

ZZ xz dS,p2 2sin y (1 + x ) 2 xdove è la calotta descritta da con 2 2r(u, v) = (cos u, u, v sin u), u [⇡/4, ⇡/3], v [1, 3].

Esercizio 12.2

Sia la superficie parametrizzata dall’applicazione:

R 3!r : D 7 !(u, v) (u, v, uv).

dove è il disco unitario di .R 2Da) Disegnare in modo sommario. RRb) Dare sotto forma di un integrale su l’area della superficie , dS.D A :=c) Usando le coordinate polari, calcolare questo integrale.

Sia R R3 !f : 27 !(x, y, z) z x .RRd) Calcolare dS.I := f (x, y, z) ¯e) Supponendo che sia la temperatura sullo spazio , determinare la sua mediaR 3f fsulla sella .

Esercizio 12.3

Si consideri la superficie avente come sostegno l’insieme > 6 6 6 6R 3 2{(x, 2⌃ = y, z) : z = 2xy, z 0, 0 x 2, 0 y 3}.

a) Calcolare l’area della superficie; pb) scrivere un’equazione del piano tangente nel punto P (1, 1, 2).01

Esercizio 12.4

Calcolare l’integrale

ZZ dSz⌃dove e la porzione di superficie di equazione cartesiana che si⌃ z = f (x, y) = xyp6 6 6proietta nell’insieme R 2 2 2{(x, 2K = y) : 0 y 3x, x + y 1}‘.

Esercizio 12.5

RRCalcolare l’integrale dS, dove è la parte del piano diEsercizio 12.5. (x + y + z)> > >equazione tale che (xx + 2y + 4z = 4, 0, y 0, z 0).

Esercizio 12.6

RRDeterminare l’integrale d , dove la superficie è la parte dellaEsercizio 12.6. x> > >sfera , tale che2 2 2 2x + y + z = a x 0, y 0, z 0.

Integrali di flusso

Esercizio 12.7

Dato il campo calcolare il flusso del rotoreEsercizio 12.7. F(x, y, z) = yi + zj + xk, >di attraverso la porzione di paraboloide R 3 2 2{(x, 2F = y, z) : z = 1 x y , z 0},con vettore normale orientato verso l’esterno, sia in base alla definizione, sia usando il teorema di Stokes.

Esercizio 12.8

Calcolare, applicando il teorema di Stokes, il flusso del rotore del cam-Esercizio 12.8.po vettoriale definito da per ogni attraversoRx 2 z 32F F(x, y, z) = (e , y , 4y +xe ) (x, y, z)>la calotta sferica di equazione con orientata nel verso delle2 2 2C x + y + z = 1, z 0, zcrescenti. >

Esercizio 12.9

Sia la semisfera con orientata nel verso delleEsercizio 12.9. 2 2 2 2x + y + z = R z 0crescenti e siaz f (x, y, z) = (y, z, x).Calcolare il flusso di rot attraverso .f

Esercizio 12.10

Utilizzando il teorema della divergenza calcolare il flusso diEsercizio 12.10. 3 3 3f (x, y, z) = (x + yz, xz + y , xy + z + 1)uscente da 6 6 > >R 3 2 2 2 2 2 2{(x, 2⌦ = y, z) : x + y + z 1, x + y z 0, y 0, z 0}.2

Esercizio 12.11

Determinare il flusso del campo vettorialeEsercizio 12.11. 2f (x, y, z) = (y z, 2xy, cos(xy))uscente dal cono n op6 6 6R 3 2 2 2 22⌦ = (x, y, z) : x + y 4, 0 z 2 x + y .

Esercizio 12.12

Calcolare il flusso del campoEsercizio 12.12. ✓ ◆32 2 2f (x, y, z) = x , y , z2uscente dall’aperto con bordo R 3 2 2{(x, 2A = y, z) : x + y < z < 1}.

Esercizio 12.13

Calcolare il flusso del campoEsercizio 12.13. f (x, y, z) = (0, z, y)attraverso la calotta di sostegno 6R 3 2 2 2 2{(x, 2⌦ = y, z) : z = 1 x y , x + y 1}orientata verso l’alto.

Esercizio 12.14

SiaEsercizio 12.14. 6 6 6R 3 2 2{(x, 2V = y, z) : x + y R, 0 z h}.Calcolare il flusso uscente da del campo vettorialeV F(x, y, z) = (x, y, z)a) con la definizioneb) con il teorema della divergenza

Esercizio 12.15

Calcolare il flusso del campo uscenteEsercizio 12.15. yz xF(x, y, z) = (x e , y + e , z)dalla sfera centrata in e di raggio(1, 1, 1) 3.

Esercizio 12.16

Calcolare il flusso del campo vettorialeEsercizio 12.16. F(x, y, z) = xyi + xyj + z(x + y)kuscente dalla frontiera del dominio 6 > > >R 3 2 2 2{(x, 2D = y, z) : x + y + z 9, x 0, y 0, z 0}.

Esercizio 12.17

Calcolare il flusso del campo vettorialeEsercizio 12.17. F(x, y, z) = yi + xj + k6 6attraverso la calotta di equazione con orientata nel2 2P z = f (x, y) = x + y 0 z 4,verso delle crescenti.z

Esercizio 12.18

Calcolare il flusso del rotore diEsercizio 12.18. 2 2F(x, y, z) = x i + xy j + (4y + z)k6 6attraverso la calotta definita da orientata nel verso delle2 2 2⌃ x + y + z = 1, 0 z 1,crescenti.z 3

Equazioni differenziali del primo ordine

Esercizio 12.19

Scrivere esplicitamente le soluzioni dei seguenti problemi di Cauchy,Esercizio 12.19.precisando il dominio di definizione di ogni soluzione.⇢ ⇢ ⇢0 0 02 2 2y = y(2 y)t y = y(2 y)t y = y(2 y)tey(0) = 2, y (0) = 1 y (0) = 3 .

Esercizio 12.20

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy, precisando il dominio dellaEsercizio 12.20.soluzione:( 0 2y = x ya) y(0) = 1;( 0 2y = yb) y(0) = 1;( 0 xy = y + ec) y(0) = 2;( cotan0y + y x = 2 cos xd) y(⇡/4) = 0;8 1< 0 2y y = 4xe) x: y(1) = 3;( 0 yy = 2 + ef) y(0) = 2;8 p1< 0y + y = 1 + tg) 2t 1: y(0) = 0;( 02x 2xye (1 + e )y = 0h) y(0) = 2.

Ricavare il polinomio di MacLaurin di secondo grado senza calcolare esplicitamentele derivate della soluzione.

Esercizio 12.21

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali:Esercizio 12.21.a) 0 yy = e sin t;b) ;0 y 2y = (e 1) x 42c) ;0 2y y = xxd) 02(1 + x )y + y = arctan x;e) ;0 x xy = 2e y + e1f) 0y y = 0;2xg) ;0 2y = 2xyh) 0 32y = y y;i) Analizzare precisamente i problemi di Cauchy del tipo0yy = x. ( 0yy = x R2y(x ) = 0, x0 0

Esercizio 12.22

Risolvere i due problemi di Cauchy seguentiEsercizio 12.22. 8 82xy 2xy< <0 0y = y =e2 2x 1 x 1: :y(2) = 0 y(2) = 3,precisando per ognuno l’insieme massimale di definizione della soluzione.

Esercizio 12.23

Trovare la soluzione del seguente problema di CauchyEsercizio 12.23. 8 y 1< 0y = + 2t t: y(1) = 1,specificandone l’insieme massimale di definizione.

Equazioni differenziali del secondo ordine

Esercizio 12.24

Trovare la soluzione del seguente problema di CauchyEsercizio 12.24. 8 2t> 00 0< y + y =021 + t 2>: 0y(1) = 1, y (1) = .⇡5

Esercizio 12.25

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni omogenee.Esercizio 12.25.a) 00 0z + 7z + 10z = 0;b) 00 0z 2z + z = 0;c) 00 0z + z + z = 0;

Esercizio 12.26

Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni complete:Esercizio 12.26.a) ;00 0 xy 2y + y = e ⇣ ⌘pb) ;300 0y + y + y = cos x2c) 00y + y = t cos t;d) 00 0 ty + y 2y = e + t;e) 00y + 4y 1 = sin x;f) ;00 0 2y 2y + 5y = xg) con , oppure ;00 0 x 2x xy + 2y + y = F (x) F (x) = e F (x) = 3e F (x) = eh) 00 0y 4y + 5y = 3 cos x;i) 00 0y y = cosh(2x).

Esercizio 12.27

Si considerino i seguenti problemi di Cauchy:Esercizio 12.27. 8 800 00> >x = 0 y = g< <x(0) = x y(0) = y0 0> >: :0 0x (0) = v cos ↵, y (0) = v sin ↵,0 0dove , , e sono dati e le funzioni e dipendono dalla⇡2x y v > 0, g > 0 ↵ 0, x y0 0 0 2variabile t.a) Dare le soluzioni dei problemi.b) Verificare che esiste un unico tale che .t > 0 y(t ) = y0 0 0c) Calcolare in funzione di , ex = x(t ) x v ↵.1 0 0 0d) Se e sono fissati, per quale valore di si ottiene il massimo valore di ?x v ↵ x0 0 1e) Tornando alla soluzione del problema di Cauchy, esprimere e quindi in funzionet ydi e dei dati.x

Esercizio 12.28

Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:Esercizio 12.28. ( 000 00y + y = t0 00y(0) = y (0) = y (0) = 0.6

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 12 Analisi Matematica II

Integrali di superficie, equazioni differenziali

Integrali di superficie

Esercizio 12.1

Determinare il valore del seguente integrale di superficieZZ xz dS,p2 2sin y (1 + x ) 2 xdove è la calotta descritta da con 2 2r(u, v) = (cos u, u, v sin u), u [⇡/4, ⇡/3], v [1, 3].

Sia , quindi stiamo cercandoxzf (x, y, z) = p2 2sin y (1+x ) 2 x ZZ dS.f (x, y, z)Abbiamo v cos u sin u v cos up pf (r(u, v)) = = ,u u u usin u(1 + cos ) 2 cos (1 + cos ) 2 cose 0 1sin u 0@ A1 0Jr(u, v) = ,v cos u sin uper cui l’elemento di superficie è 0 1sin u p@r @r @ AdS dudv dudv dudv.2 2^ |sin u= = = sin u| 1 + sin u@u @v 0 p p6 6Siccome , e osserviamo che 2⇡ ⇡ 2|u sin u| = sin u 1 + sin u = 2 cos u.⇥ ⇤4 3Denotando abbiamo⇡ ⇡ ⇥D = , [1, 3],4 3ZZ ZZ pv cos udS dudvp 2f (x, y, z) = sin u 2 cos u2 u(1 + cos u) 2 cosDZZ ZZ 1 v sin(2u)v cos u sin u dudv dudv2= = cos(2u)+121 + cos u 1+D D 2ZZ v sin(2u) dudv= 3 + cos(2u)D 1Z Z Z Z⇡ ⇡3 3v sin(2u) sin(2u)3 3dv du du dv= = v3 + cos(2u) 3 + cos(2u)⇡ ⇡1 14 4 ⇡ 321 v3= log(3 + cos(2u))2 2⇡ 1✓ ✓ ◆◆ ✓ ◆45 6= 2 log 3 log = 2 log .2 5

Esercizio 12.2

Sia la superficie parametrizzata dall’applicazione:R 3!r : D 7 !(u, v) (u, v, uv).dove è il disco unitario di .R 2D

a) Disegnare in modo sommario.

Osserviamo che dove quindi è il grafico dir(x, y) = (x, y, f (x, y)), f (x, y) = xy,, sul dominio 2f (x, y) D.1. z1 y0.5 11 0.5 x0.5 10.51 1 RR

b) Dare sotto forma di un integrale su l’area della superficie , dS.D A :=

La matrice jacobiana della parametrizzazione è0 11 0@ A0 1Jr(u, v) = .v u2L’elemento di superficie è 0 1v p@r @r @ AdS dudv dudv dudv.2 2^ u= = = 1 + u + v@u @v 1L’area è perciò ZZ p dudv.2 2A = 1 + u + vD

c) Usando le coordinate polari, calcolare questo integrale.

>Usiamo e tali che⇢ 0 ✓ ⇢ u = ⇢ cos ✓v = ⇢ sin ✓,abbiamo allora dudv d⇢d✓ e quindi, ponendo il dominio0 ⇥= ⇢ D = [0, 1] [0, 2⇡]per (⇢, ✓), ZZ Z Zp p2⇡ 1d⇢d✓ d⇢ d✓2 2A = 1 + ⇢ ⇢ = 1 + ⇢ ⇢0D 0 0p 11 4 2 232= 2⇡ 1+ ⇢ = ⇡.23 30pIl risultato è ragionevole: con abbiamo con che è l’area di' '2 1, 4, A 1, 2⇡ ⇡D.

Sia R R3 !f : 27 !(x, y, z) z x .RRd) Calcolare dS.I := f (x, y, z)

Abbiamo quindi2f (r(u, v)) = uv uZZ ZZ pdS dudv2 2 2I = f (x, y, z) = (uv u ) 1 + u + vDZ Z p d⇢d✓2 3 2= (sin ✓ cos ✓ cos ✓)⇢ 1 + ⇢0DZ Z p2⇡ 1sin(2✓) cos(2✓) 1 d✓ d⇢3 2= ⇢ 1 + ⇢20 0poniamo nel secondo integrale2t = ⇢ " #Z Z13p1 1⇡ ⇡ 2t(1 + t) ⇡2 3dt dt= t 1 + t = + (1 + t) 22 2 3 30 003 " #p p1 ⇣ ⌘5 p2⇡ 2 ⇡ 2(1 + t) 2⇡ 2 2⇡2= + = + 4 2 13 3 5 3 150p2 2+2= ⇡.15

Il risultato è ragionevole: è negativo (la funzione è dispari in e il domi-z = xy xnio è simmetrico rispetto all’asse quindi l’integrale dà e l’integrale di è2y 0, xnegativo). ¯

e) Supponendo che sia la temperatura sullo spazio , determinare la sua media sullaR 3f fsella .

p pLa temperatura media è .2 2+2 5+3 2I = =pA 3510(2 2 1)

Esercizio 12.3

Si consideri la superficie avente come sostegno l’insieme> 6 6 6 63 2R{(x, 2⌃ = y, z) : z = 2xy, z 0, 0 x 2, 0 y 3}.

a) Calcolare l’area della superficie.

L’area può essere calcolata tramite l’integraleZZ dS.1⌃Per riuscire a calcolarlo ci serve una parametrizzazione della superficie. Possiamop>usare, che, siccome Purtroppo la funzione non sarà|z|z 0, z = = 2xy.derivabile sugli assi. Usiamo quindi una parametrizzazione leggermente diversain cui , , che possiamo fare perché sono entrambi non-negativi, e2 2x = u y = vabbiamo quindi p p p6 6 6 62 2{(u⌃ = , v , 2uv) : 0 u 2, 0 v 3}.p p6 6 6 6Poniamo quindi e R2 2 2{(u, 2r(u, v) = (u , v , 2uv) D = v) : 0 u 2, 0 vp La matrice jacobiana della parametrizzazione è3}. 0 12u 0@ A0 2vJr(u, v) = .p p2v 2uCalcoliamo preventivamente, perché ci servirà anche qui sotto,p0 122 2vp@r @r @ A2^ = .2u2@u @v 4uv4L’elemento di superficie è pp@r @rdS dudv dudv dudv.2 24 4 2 2^= = 8u + 8v + 16u v = 2 2(u + v )@u @vL’area è perciò p p p pZZ Z Z Z Zp p p2 3 2 3dudv du dv du dv2 2 2 2A =2 2 (u + v ) = 2 2 u + 2 2 vD 0 0 0 0p pZ Zp p2 3 8 20du dv2 2 p p=2 6 u + 4 v = + 4 3 = .3 30 0Bonus grafico:2. z3.532.521.5y3 12 0.51 x21.510.50.51 10.511.5 5 p

b) Scrivere un’equazione del piano tangente nel punto P (1, 1, 2).0

Nel calcolo della superficie, abbiamo visto che un vettore normale al piano tangentenel punto di coordinate è dato dar(u, v) p0 122 2vp@r @r @ A2^ = .2 2u@u @v 4uvIl punto corrisponde a quindi un vettore normale èP u = v = 1,0 p0 12 2p@ A2 24e un’equazione del piano tangente in quel punto èp p p2 2(x 1) 2 2(y 1) + 4(z 2) = 0ovvero px + y 2z = 0.

Esercizio 12.4

Calcolare l’integrale ZZ dSz⌃dove e la porzione di superficie di equazione cartesiana che si proietta⌃ z = f (x, y) = xyp6 6 6nell’insieme R 2 2 2{(x, 2K = y) : 0 y 3x, x + y 1}‘.

Possiamo parametrizzare la superficie dalla funzione conr(x, y) = (x, y, f (x, y)),La matrice jacobiana è2(x, y) K. 0 11 0@ A0 1Jr(x, y) = .y xL’elemento di superficie è 0 1y p@r @r @ AdS dxdy dxdy dxdy.2 2^ x= = = 1 + x + y@x @y 1L’integrale è ppZZ Z Z3p p21 y2dxdy dx dy2 2 2 2I = z 1 + x + y = xy 1 + x + yyK 0 p 36p 0 1" #p pZ Z21 y 33 33 3 4 22 2 2 1+ y 2(1 + x + y ) 2 22 2 @ Ady dy3= y = y3 30 0yp 3p2 3 3p p5 243 22 1 + y 2 1+2y 24 5= = .3 20 200

Osservando che il dominio è lo spicchio di disco unitario di angolo compreso tra eK 0, l’area (non richiesta) è⇡3 ZZ Z Z⇡p p13dxdy d⇢ d✓2 2 2A = 1 + x + y = 1 + ⇢ ⇢K 0 02 3 13 32 2 2⇡ (1 + ⇢ ) (2 1)⇡4 5= = .3 3 90RR

Esercizio 12.5

Calcolare l’integrale dS, dove è la parte del piano di equazione(x+y+z)> > >tale che (xx + 2y + 4z = 4, 0, y 0, z 0).

Il piano può essere visto come l’insieme dei punti tali che(x, y, z) x = 4 2y 4z.> > > > 6Dobbiamo avere e per cui ovvero Ily 0, z 0 x 0 4 2y 4z 0, y + 2z 2.dominio è quindi 6 6 6{(4 {r(y, 2 },= 2y 4z, y, z) : 0 y, 0 z, y + 2z 2} = z) : (y, z) Tdove è l’insiemeT 6 6 6R 2{(y, 2T = z) : 0 y, 0 z, y + 2z 2}e Osserviamo che, nel piano è il triangolo di verticir(y, z) = (4 2y 4z, y, z). Oyz, Te e è il triangolo di vertici e (qui c’è unO(0, 0, 0), A(0, 2, 0) B(0, 0, 1) C(4, 0, 0), A Bpiccolo abuso di notazioni: è di coordinate nel piano e di coordinateA (2, 0) Oyz (0, 2, 0)nello spazio; dovremmo usare due nomi di punti diversi).3. yz B A1 2T 1O 1 2 C3 x47La matrice jacobiana di èr 0 12 4@ A1 0Jr(y, z) = 0 1e l’elemento di superficie è 0 11 p@r @r @ AdS dydz dydz dydz.^ 2= = = 21@y @z 4Abbiamo perciò