Esercitazione su: Integrali di linea di seconda specie e Campi conservativi (Analisi 2)

Università di Bergamo

Anno accademico 2021–2022 Secondo anno di Ingegneria Foglio 11 Analisi Matematica II

Integrali di linea di seconda specie, campi conservativi e formula di Gauss–Green nel piano

Integrali di linea di seconda specie

Esercizio 11.1

Siano la curva 2r(t) = (a cos t, b sin t), t [0, ⇡] e F(x, y) = ( y, x). Calcolare il lavoro del campo lungo la curva .F

Esercizio 11.2

p2 y Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze xF(x, y) = i jx+1 y+1 quando il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione , 2y = x orientata da ad(0, 0) A(1, 1).

Esercizio 11.3

Siano 6 6 6 6 >R 2 2 22D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1, x + y 1 e 2 2F(x, y) = (x y) , (x + y) . Calcolare la circuitazione del campo lungo il bordo di orientato nel senso F @D D, positivo (trigonometrico, antiorario).

Esercizio 11.4

p2 y Calcolare la circuitazione del campo di forze xF(x, y) = i jx+1 y+1 lungo la curva chiusa , orientata in senso frontiera del dominio orario, {(x, 2D = y)6 6 6 6R 2 2: 0 x 1, x y 1}.

Esercizio 11.5

Calcolare la circuitazione del campo di forze lungo Esercizio 11.5. 2 2F(x, y) = y i + x j la curva chiusa , orientata in senso frontiera del triangolo di vertici antiorario, O(0, 0), eA(2, 0) B(2, 2).

Esercizio 11.6

p2 y Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze xF(x, y) = i jx+1 y+1 quando il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione , 2y = x da adorientata O(0, 0) A(1, 1). 1

Campi conservativi

Esercizio 11.7

Verificare che il campo di forze è conservativo Esercizio 11.7. y yF(x, y) = e i+(1+xe )j e determinare il che si annulla in (0,0). Calcolare il lavoro compiuto dalla forza potenziale quando il suo punto di applicazione si sposta da ad descrivendo una F O(0, 0) A(4, 1) certa traiettoria.

Esercizio 11.8

Stabilire se il campo Esercizio 11.8. ✓ ◆⇣ ⌘ ⇣ ⌘y y 1 yf (x, y) = cos , cos2x x x x è conservativo in R 2{(x, 2⌦ = y) : x > 0} e in caso affermativo determinarne un potenziale.

Esercizio 11.9

Stabilire se il campo è conservativo su e in caso Esercizio 11.9. R 3f (x, y, z) = (y, x, z) affermativo calcolarne i potenziali. Infine, calcolare il lavoro del campo lungo la curva parametrizzata da 8> x = cos t< 2y = sin tr : t [0, ⇡].>: z =1

Esercizio 11.10

Verificare che il campo di forze Esercizio 11.10. F(x, y, z) = (2x yz)i + (2y xz)j + ( 2z xy)k è conservativo e determinare il potenziale che si annulla in Qual è il lavoro C(1, 1, 1). compiuto dalla forza quando il suo punto di applicazione si sposta da adO(0, 0, 0) A(1, 1, 2)?

Esercizio 11.11

Sia il campo Esercizio 11.11. ✓ ◆2y 2zxy xyf (x, y, z) = ye , xe + , .2 2 2 2 2 2(y + z ) (y + z )

• a) Determinare l’insieme di definizione di .⌦ f
• b) Mostrare che è irrotazionale suf ⌦.
• c) Determinare un potenziale di sull’aperto semplicemente connesso tale ✓U f A ⌦ che R 3{(x, 2A = y, z) : z > 0}.
• d) È conservativo suf ⌦? 2

Esercizio 11.12

Sia il campo Esercizio 11.12. ✓ ◆2x 2yf (x, y) = , .2 2 2 2x + y 4 x + y 4

• a) Determinare l’insieme di definizione del campoA
• b) Verificare che il campo è conservativo su e determinarne un potenziale su ogniA componente connessa di A.
• c) Calcolare il lavoro compiuto da dal punto al puntof (0, 0) (1, 1).
• d) È vero che il lavoro da a è(0, 0) (3, 0) log 5 log 4?

Giustificare bene le proprie risposte.

Esercizio 11.13

Determinare tali che il campo Esercizio 11.13. R2a, b 2f (x, y, z) = axy + z, x , bx + 2z sia conservativo su . Determinare un potenziale di . Calcolare il lavoro di lungo R 3 f f la curva da a ottenuta intersecando le superfici eA(1, 1, 0) B(0, 0, 3) 2x + y + z = 3> e2 2 29x + 9y + 2z = 18 y 0.

Esercizio 11.14

Si dica se i campi Esercizio 11.14. F (x, y, z) = z i + xy k1 12 3F (x, y, z) = 3x y i + x j k2 z sono conservativi ove sono definiti e se ne determini, se esiste, un potenziale.

Esercizio 11.15

Calcolare il lavoro del campo Esercizio 11.15. F(x, y, z) = (x + z)i (y + z)j + (x y)k lungo una linea che congiunga i punti eO = (0, 0, 0) A = (2, 2, 1).

Esercizio 11.16

Calcolare il lavoro del campo lungo il bordo dell’a- Esercizio 11.16. 2F(x, y) = (xy, x ) perto 2 2{(x,A = y) : x + y < 1, y > 0}. Il campo è conservativo?F 3

Esercizio 11.17

Si consideri il campo Esercizio 11.17. ✓ ◆y xF(x, y) = , .2 2 2 2x + y x + y

• a) Mostrare che (da interpretarsi opportunamente come campo tridimensionale) è Firrotazionale.
• b) Calcolare il lavoro di lungo la curva parametrizzata daF ( x = cos t 2r : , t [0, 2⇡]y = sin t
• c) Il campo è conservativo su R 2 \ {(0,F 0)}?
• d) Calcolare il lavoro di lungo una circonferenza di centro l’origine e raggioF R > 0 (orientata in senso antiorario).

Formula di Gauss–Green nel piano

Esercizio 11.18

Calcolare l’area della porzione di piano racchiusa dalla curva in Esercizio 11.18. D forma polare per 2⇢ = 2 cos ✓ ✓ [0, ⇡].

Esercizio 11.19

Calcolare l’area del dominio avente per frontiera la linea chiusa e Esercizio 11.19. T semplice di equazioni parametriche( 2x = (1 t) t 2r : , t [0, 1]y = (1 t)t

Esercizio 11.20

Calcolare l’area del dominio piano limitato dall’asse delle e dall’arco Esercizio 11.20. x di cicloide di equazioni 2x(t) = R(t sin t), y(t) = R(1 cos t), t [0, 2⇡].

Esercizio 11.21

Usando il teorema di Gauss–Green, calcolare l’integrale doppio Esercizio 11.21. ZZ dxdyyT ove è il dominio di frontiera con[ [T @T = 0 1 2( x = t sin t 2: , t [0, 2⇡]0 y = cos t 1( h i3x = 2⇡ cos t ⇡2: , t 0,1 3 2y = 2⇡ sin t e che congiunge con un segmento i punti eA(0, 2⇡) O(0, 0).2 4

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Anno accademico 2021–2022 Secondo anno di Ingegneria Foglio 11 Analisi Matematica II

Integrali di linea di seconda specie, campi conservativi e formula di Gauss–Green nel piano

Integrali di linea di seconda specie

Esercizio 11.1

Siano la curva 2r(t) = (a cos t, b sin t), t [0, ⇡] e F(x, y) = ( y, x). Calcolare il lavoro del campo lungo la curva .F

Abbiamo 0r (t) = ( a sin t, b cos t) per cui il lavoro è Z Z Z⇡ ⇡ ⇡dt dt dt0·F(r(t)) r (t) = ( b sin t)( a sin t) + (a cos t)(b cos t) = ab = ⇡ab.0 0 0

Esercizio 11.2

p2 yEsercizio 11.2. Calcolare il lavoro compiuto dal campo di forze quando xF(x, y) = i jx+1 y+1 il punto di applicazione si sposta lungo l’arco di curva piana di equazione , orientata da2y = x ad(0, 0) A(1, 1).

Una possibile parametrizzazione dell’arco di curva è 2r(x) = (x, x ). Abbiamo allora 0r (x) = (1, 2x) per cui il lavoro è ✓ ◆Z Z1 1 2x xdx dx0· · ·F(r(x)) r (x) = 1 (2x)2x +1 x + 10 0 ✓ ◆Z 1 2 2 dx= 2 2+ 2x +1 x +10 ⇡= 2 log 2 + 2 arctan 1 = 2 log 2.2pp >

Nell’integrale abbiamo semplificato perché 2 |x|y = x = = x x 0.1

Esercizio 11.3

Esercizio 11.3. Siano 6 6 6 6 >2 2 2R2D = (x, y) : 0 x 1, 0 y 1, x + y 1 e 2 2F(x, y) = (x y) , (x + y) . Calcolare la circuitazione del campo lungo il bordo di orientato nel senso positivoF @D D, (trigonometrico, antiorario).

Il dominio è così fatto:1. y C B10.5 A xO 0.5 1

Sul segmento l’integrale èAB, Z Z1 1 8 1 7dy dy2·L = F(1, y) j = (1 + y) = = .1 3 3 30 0

Sul segmento l’integrale èBC,Z Z1 1 0 ( 1) 1dt dt2· + = .L = F(1 t, 1) ( i) = t =2 3 3 30 0

Attenzione ai segni: bisogna parametrizzare la curva (il segmento) in modo tale che l’ascissa decresca.

_Sull’arco di circonferenza una possibile parametrizzazione è data daCA, r(t) =con da a (anche qui: angolo decrescente),⇡ ⇡ ⇡cos t , sin t = (sin t, cos t), t 02 2 2 l’integrale è Z ⇡2 dt·L = F(sin t, cos t) (cos t, sin t)3 0Z ⇡2 dt2 2= (sin t cos t) cos t (sin t + cos t) sin t0Z ⇡2 dt2 2= cos t 2 cos t sin t sin t 2 cos t sin t0 2 ⇡2 2 2 223 3= sin t + cos t + cos t sin t =1+0+0 0 1+03 3 3 304= .3

La circuitazione è quindi 7 1 4 2C = L + L + L = = .1 2 3 3 3 3 3

In alternativa si poteva usare la formula di Gauss–Green !Z ZZ 2 2@ (x + y) @ (x y)dx dy dxdy2 2C = (x y) + (x + y) = @x @y@D DZZ ZZdxdy dxdy= 2(x + y) + 2(x y) = 4xD D Z Z Z ⇣ ⌘ 1p1 1 1 4 3dy dx dx 2 22= 4x = 4x 1 1 x = 2x + 1 x 2p 320 1 x 0 04 2=2 = .3 3 p2 y