Esercitazione su: Ascissa curvilinea e Integrali curvilinei (Analisi 2)

Università di Bergamo anno accademico 2021–2022

Secondo anno di Ingegneria Foglio 3

Analisi Matematica II

Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei

Esercizio 3.1

Esprimere, per i seguenti archi, l’ascissa curvilinea in funzione del parametro e dedurne la lunghezza dell’arco.

Per le curve che non sono date in forma parametrica, occorre prima portarle in forma parametrica, scegliendo l’opportuno parametro.

• A) 2r (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ [0, 2⇡].1
• B) 2r (t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2⇡].2
• C) con 2r (t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡].3 ⇣ ⌘p
• D) ,4 2 3/2 2 2r (t) = t , t , 2t t [0, 3].4 3
• E) 2 2r (t) = (3 sin t cos t, 3 sin t, 3t) t [0, ⇡].5
• F) (febbraio 2017).# # 2r (#) = (e cos #, e sin #), # [0, 2⇡]6
• G) (luglio 2019).2r (t) = (2 cos t, 2 sin t, t), t [0, 3]7
• H) 2y = log x, x [1, 2].
• I) ,✓ 2⇢ = e ✓ [0, ⇡].
• J) 2⇢ = 1 + cos ✓, ✓ [0, 2⇡].
• K) La curva di equazione percorsa a partire dal punto 2 2x + y 4x 2y 4 = 0, in senso orario. P (5, 1)
• L) Il segmento che unisce e A(3, 1) B( 1, 9).
• M) La curva di equazione 2 2x + y 2x = 0.
• N) 3 2 2r (t) = (t 3t, 3t ), t [0, 4].14
• O) 2r (t) = (cos t + t sin t, sin t t cos t), t [ ⇡, ⇡].15
• P) 33 2r (t) = (cos t, sin t), t [0, 2⇡].16 p
• Q) 2r (t) = (t, log t, 2 2t), t [1, 3].17 1Z h ix pt
• R) dt, .31p 2y = x ,2 221 t12 ⇣ ⌘p5 3
• S) ,2t t4 2r (t) = , t , t [0, 1].19 5 4 3

Esercizio 3.2

Calcolare i seguenti integrali curvilinei (integrali di linea di prima specie):

• A) Z ⇣ ⌘za) ds, dove è la curva parametrizzata da , con1 132 3p r(t) = t, t , tp 2x + 2xy2t [1, 2];
• B) Z pb) ds, dove è la curva parametrizzata da2 2 2 t t(2 x+y +z ) r(t) = (t , e cos t, e sin t), con 2t [0, 1];
• C) Z pc) ds, dove è la curva di equazione , con22 21 + x + 3y y = x x [0, 1];
• D) Zd) ds, dove è la curva parametrizzata da2 2(x y z) r(t) = (3 cos t, 3 sin t, 4t), con 2t [0, ⇡].

Esercizio 3.3

Si consideri la curva regolare in di supporto seguente: R 38 x = sin #< 2y = cos #: # [ ⇡, ⇡]: z = #.

Z Z xy Calcolare ds e ds.2 2 2 pA = x + y + z B = 21 + z

Esercizio 3.4

Determinare Z dsxyove è la curva ottenuta come unione del segmento che congiunge i punti A( 1, 0)1 e l’arco di circonferenza di raggio e passante per e e il B(0, 1), 1 B(0, 1) C(1, 0)2 segmento che permette di chiudere la curva .3

Esercizio 3.5

Determinare la lunghezza dell’arco di curva definito da ⇣ ⌘pt t 2r(t) = e , e , 2t , t [0, 1] e parametrizzarlo mediante l’ascissa curvilinea.

Calcolare poi Z ds.2y 2

Esercizio 3.6

Sia la curva parametrizzata da , R 3 2!r : [0, ⇡] r(t) = (cos t, sin t, t ).R pCalcolare ds.z

Esercizio 3.7

Consideriamo la curva parametrizzata da r(t) = (a cos t, a sin t, bt), con parametri reali positivi e Integrare la funzione lungo2a, b t [0, 2⇡]. f (x, y, z) = xyzla curva .

Esercizio 3.8

Consideriamo la curva parametrizzata da r(t) = cos(log(t)), sin(log(t)), t con Integrare la funzione lungo la curva .22t [1, e]. f (x, y, x) = z

Applicazioni fisiche

Ad un filo parametrizzato da di cui la massa lineica (densità) nel punto è data da sono associate diverse quantità con P (x, y, z) ⇢(x, y, z), significato fisico:

• Lunghezza: R ds;L =
• Massa: R ds;M = ⇢(x, y, z)
• Baricentro: con ds, ds,1 1G(x̄, ȳ, z̄) x̄ = x⇢(x, y, z) ȳ = y⇢(x, y, z) z̄ =R M Mds;1 z⇢(x, y, z)M R
• Momenti d’inerzia rispetto all’asse ds, all’asse2 2x: I = (y + z )⇢(x, y, z) y: I =x yR Rds, all’asse ds.2 2 2 2(x + z )⇢(x, y, z) z: I = (x + y )⇢(x, y, z)z

In tutti questi integrali e sono le tre componenti di e ds dt.0krx, y z r(t) = (t)k

È sottinteso che se il filo è piano, la coordinata è nulla nelle espressioni in cui z compare.

Esercizio 3.9

Calcolare il baricentro dei seguenti corpi filiformi:

• A) Semicirconferenza di materiale omogeneo;
• B) Asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,AB AB = L ⇢(P ) = kAP con k > 0.

Esercizio 3.10

Calcolare il momento d’inerzia dei seguenti corpi:

• A) Anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto ad un asse contenente R M un suo diametro;
• B) Anello di materiale omogeneo, raggio e massa , rispetto all’asse perpendicolare R M al piano dell’anello e passante per il centro;3
• C) Asta non omogenea di lunghezza e massa lineica data da ,AB L ⇢(P ) = kAP k > 0, rispetto ad un asse perpendicolare all’asta e passante per il suo estremo A;
• D) Filo omogeneo descritto da con e r(t) = (a(cos t sin t), a(cos t + sin t)), a > 0 rispetto all’asse2t [0, ⇡], z.

Esercizio 3.11

Calcolare la massa, la terza coordinata (z̄) del centro di gravità e il momento d’inerzia rispetto all’asse di un filo con la forma di un giro di elica di z equazione: 2r(t) = (a cos t, a sin t, bt), a, b > 0, t [0, 2⇡] dove la massa lineica del filo è data da .2 2 2⇢(x, y, z) = x + y + z

Esercizio 3.12

Trovare il momento di inerzia rispetto all’asse delle di un filo circolare x di raggio centrato in a > 0, O(0, 0)

• A) Se è omogeneo di massa ;M
• B) Se la massa lineica è data da |x| |y|.⇢(x, y) = +4

Soluzioni dell’esercizio 3.1

Università di Bergamo Anno accademico 2021–2022 Secondo anno di Ingegneria Foglio 3 Analisi Matematica II Ascissa curvilinea. Integrali curvilinei

Esercizio 3.1. Esprimere, per i seguenti archi, l’ascissa curvilinea in funzione del parametro e dedurne la lunghezza dell’arco.

Per le curve che non sono date in forma parametrica, occorre prima portarle in forma parametrica, scegliendo l’opportuno parametro.

A) 2r (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ [0, 2⇡].1

Abbiamo 0r (✓) = ( sin ✓, cos ✓)1 quindi la curva è di classe e regolare,1C 0kr (✓)k = 11 e perciò Z ✓ d#s (✓) = = ✓.1 0

In particolare l’arco di curva è lungo s (2⇡) = 2⇡.1

B) Cicloide

2r (t) = (t sin t, 1 cos t), t [0, 2⇡]2

Abbiamo 0r (t) = (1 cos t, sin t)2 quindi la curva è di classe e regolare (tranne in e1C 0 2⇡), ✓ ◆t0 2 2 2 2kr (t)k = (1 cos t) + sin t = 2 2 cos t = 4 sin2 2 che produce ✓ ◆ ✓ ◆t t0kr (t)k = 2 sin = 2 sin ,2 2 26 6 6 6 >perché, con abbiamo per cui Perciòt t0 t 2⇡, 0 ⇡ sin 0.2 2

 ✓ ◆Z ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ tt u u tdus (t) = 2 sin = 4 cos = 4 4 cos .2 2 2 20 0

(Questa formula non è valida al di fuori dell’intervallo Per esempio per[0, 2⇡].la formula corretta è .) In particolare la lunghezzat2t [2⇡, 4⇡], s (t) = 12+4 cos2 2 dell’arco di curva è s (2⇡) = 8.2 1

C) Con 2r (t) = (cos t, sin t, pt), p > 0, t [0, 2⇡].3

Abbiamo 0r (t) = ( sin t, cos t, p)3 quindi la curva è di classe e regolare,1C p0 2kr (t)k = 1 + p3 e perciò Z p pt du2 2s (t) = 1 + p = t 1 + p .3 0 p

In particolare l’arco di curva è lungo .2s (2⇡) = 2⇡ 1 + p3

D) ⇣ ⌘p4 2d) ,3/2 2 2r (t) = t , t , 2t t [0, 3].4 3

Abbiamo ⇣ ⌘p0 1/22t , 2t, 2r (t) = 24 quindi la curva è di classe e regolare,1C pp0 2 2kr (t)k = 8t + 4t + 4 = 2 (t + 1) = 2|t + 1| = 2(t + 1)4 e perciò Z t du 2s (t) = 2 (u + 1) = t + 2t.4 0

In particolare l’arco di curva è lungo s (3) = 15.4

E) 2 2r (t) = (3 sin t cos t, 3 sin t, 3t) t [0, ⇡].5

Abbiamo 0 2 2r (t) = (3(cos t sin t), 6 sin t cos t, 3) = 3(cos 2t, sin 2t, 1)5 quindi la curva è di classe e regolare,1C p0kr (t)k = 3 25 e perciò ps (t) = 3 2t.5 p

In particolare l’arco di curva è lungo s (⇡) = 3 2⇡.52

F) Febbraio 2017

f) (febbraio 2017).