Esercitazione guidata Analisi Matematica 1 prima parte

P(n) n ∈ ℕ

P(1) vera

Supponi che P(n) e' vera per n e dimostrale per n+1

Allora P(n) e' vera ∀n ∈ ℕ

1. Provare che ∀n ∈ ℕ

n² = Σ_k=1ⁿ(2k-1) (♢)

Σ_k=1ⁿX_k = X₁ + X₂ + X₃ + ... + X_n

n = 1

1² = Σ_k=1¹(2k-1)

1 = 1 ✅

Supposto che (♢) e' vera per n dimostriamola per n+1, cioe'

(n+1)² = Σ_k=1ⁿ⁺¹(2k-1)

(n+1)² = n² + 1 + 2n

= Σ_k=1ⁿ(2k-1) + 1 + 2n

_P(n) n∈ℕ

…_P(1) vera

…Supponi che _P(n) è vera per n e dimostrale per n+1 Allora _P(n) è vera  ∀n∈ℕ

1) Provare che  ∀n∈ℕ

        n² =   ∑ⁿ_k=1(2k-1)    (○)

 ∑ⁿ_k=1X_k = X₁ + X₂ + X₃ + …+X_n

•   n = 1

        1² =  ∑¹_k=1 (2k-1)

           1 = 1

              ✓

• Supposto che (•) è vera per n  dimostriamola per n+1, cioè

    (n+1)² =  ∑ⁿ⁺¹_k=1 (2k-1)

        (n+1)² =     n² + 1 + 2n

                       = ∑ⁿ_k=1 (2k-1)                         + 1 + 2n

∑_k=1ⁿ⁺¹ (2k-1) = ∑_k=1ⁿ (2k-1) + (2(n+1)-1)

= ∑_k=1ⁿ (2k-1) + (2n + 1)

= n² + 2n + 1 = (n+1)²

2) ∑_k=1ⁿ k = ¹/₂ n(n+1) ∀n∈ℕ

• n = 1 1 = ¹/₂ 1⋅2 = 1 ✓
• Supposto vera per n dimostriamola per n+1, cioè facciamo vedere che

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = ¹/₂ (n+1)(n+2)

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = ∑_k=1ⁿ k + (n+1)

= ¹/₂ n(n+1) + (n+1)

= (n+1)( ¹/₂ n + 1)

= ¹/₂ (n+1)(n+2).

3) Provare che ∀ n ≥ 6

nⁿ ≥ 2ⁿ ⋅ n!

1. n! = n(n - 1)(n - 2) … 2 ⋅ 15! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
2. 0! = 1
3. (n + 1)! = n! ⋅ (n + 1)n = 66⁶ ≥ 2⁶ ⋅ 6!

Supposto vera per n dimostriamola per n + 1, cioè(n + 1)^{n + 1} ≥ 2^{n + 1} ⋅ (n + 1)!

(n + 1)^{n + 1} = (n + 1)ⁿ(n + 1)= [n(1 + ¹/_n)]ⁿ ⋅ (n + 1) = ...

(n + 1)ⁿ = [n(1 + ¹/_n)]ⁿ = nⁿ(1 + ¹/_n)ⁿ

... = nⁿ(1 + ¹/_n)ⁿ(n + 1)≥ 2ⁿ ⋅ n! ⋅ (1 + ¹/_n)ⁿ ⋅ (n + 1)

= 2ⁿ (n+1)! (1 +¹/_n)ⁿ ≥ ...

2 ≤ (1 + ¹/_n)ⁿ ≤ 3

... ≥ 2ⁿ (n+1)! . 2

= 2ⁿ⁺¹ (n+1)!

Provare che per n ≥ 1

²ⁿ/_2·n ≤ ^(2n)!/_(n!)² => 2²ⁿ ≤ 2n·(2n)!(n!)²

· n = 1

²²/₂ ≤ ^2!/_(1!)² 2 ≤ 2 ✓

· Supposto vero per n dimostriamolo per n+1:

^22(n+1)/_2·(n+1) ≤ ^(2(n+1))!/_((n+1)!)²

(2(n+1))! = (2n+2)!

= ((2n+1)+1)!

= (2n+1)! (2n+2)

= (2n)! (2n+1) (2n+2)

(n+1)! = n!(n+1)

(n+1)^2 = (n! (n+1))^2

= (n!)^2 (n+1)^2

²²ⁿ / (2ⁿ⁺¹)

² / _2n+2

= 2²ⁿ . ²² / (2n+2)