Esercitazione guidata Analisi Matematica 1 prima parte

Principio di induzione

P(n), n ∈ N. P(1) vero. Supponi che P(n) è vero per n e dimostralo per n+1. Allora P(n) è vero ∀n ∈ N.

1) Provare che ∀n ∈ N

n² = ∑_k=1ⁿ (2k - 1)

∑_k=1ⁿ x_k = x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n

n = 1

1² = ∑_k=1¹ (2k - 1)

1 = 1

Supposto che (1) è vero per n dimostriamolo per n+1, cioè

(n+1)² = ∑_k=1ⁿ⁺¹ (2k - 1)

(n+1)² = n² + 1 + 2n

= ∑_k=1ⁿ (2k - 1) + 1 + 2n

P(n), n in N. P(1) vero. Supponi che P(n) è vero per n e dimostrarlo per n+1. Allora P(n) è vero ∀n in N.

1) Provare che n in N

n² = ∑_k=1ⁿ(2k - 1)

∑_k=1ⁿ x_k = x₁ + x₂ + x₃ + ... + x_n

n = 1

1² = ∑_k=1¹(2k - 1)

1 = 1

Supposto che (0) è vero per n dimostriamola per n+1, cioè

(n+1)² = ∑_k=1ⁿ⁺¹(2k - 1)

(n+1)² = n² + 1 + 2n

= ∑_k=1ⁿ(2k - 1) + 1 + 2n

∑_k=1ⁿ⁺¹ (2k - 1) = ∑_k=1ⁿ (2k - 1) + (2(n+1) - 1)

= ∑_k=1ⁿ (2k - 1) + (2n + 1)

= n² + 2n + 1 = (n + 1)²

2) Somma dei primi n numeri naturali

∑_k=1ⁿ k = 1/2 n(n+1) ∀n∈N

n = 1

1 = 1/2 · 1 · 2 = 1

Supposto vero per n dimostriamola per n+1, cioè facciamo vedere che

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = 1/2 (n+1)(n+2)

∑_k=1ⁿ⁺¹ k = ∑_k=1ⁿ k + (n+1)

= 1/2 n(n+1) + (n+1)

= (n+1)(1/2 n + 1)

= 1/2 (n+1)(n+2).

3) Provare che for n ≥ 6

nⁿ ≥ 2ⁿ · n!

• Fattoriale: n! = n(n - 1)(n - 2)...2 · 1
• Caso 5: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1
• Zero: 0! = 1
• Ricorrenza: (n + 1)! = n! · (n + 1)

Caso base: n = 6

6⁶ ≥ 2⁶ · 6! ✓

Passo induttivo: Supposto vero per n dimostriamolo per n + 1, cioè

(n + 1)^{n + 1} ≥ 2^{n + 1} · (n + 1)!

(n + 1)^{n + 1} = (n + 1)ⁿ · (n + 1)

= [n(1 + 1/n)]ⁿ · (n + 1) = ...

(n + 1)ⁿ = [n(1 + 1/n)]ⁿ = nⁿ(1 + 1/n)ⁿ

... = nⁿ(1 + 1/n)ⁿ (n + 1)

≥ 2ⁿ · n! · (1 + 1/n)ⁿ · (n + 1)

= 2ⁿ · (n+1)! · (1 + 1/n)ⁿ ≥ ...

2 ≤ (1 + 1/n)ⁿ ≤ 3

... ≥ 2ⁿ(n+1)! · 2

= 2ⁿ⁺¹(n+1)!

Provare che per n ≥ 1

2²ⁿ / 2n ≤ (2n)! / (n!)² => 2²ⁿ ≤ 2n · (2n)! / (n!)²

• Caso base: n = 1

2² / 2 ≤ 2! / (1!)²

2 ≤ 2 ✓

• Passo induttivo: Supposto vero per n dimostriamolo per n+1;

2²⁽ⁿ⁺¹⁾ / 2 · (n+1) ≤ (2(n+1))! / ((n+1)!)²

(2(n+1))! = (2n+2)!

= ((2n+1) + 1)!

= (2n+1)! (2n+2)

= (2n)! (2n+1)(2n+2)

(n+1)!² = (n!(n+1))²

= (n!)² (n+1)²

2²⁽ⁿ⁺¹⁾ / 2(n+1)