Esercitazione guidata Analisi Matematica 1 - ottava parte

Determinare il numero di soluzioni

1) Determinare il numero di soluzioni di arcsin √x = √1-x²

f(x) = arcsin √x - √1-x² → f(x) = 0

D: [0,1]

{-1 ≤ √x ≤ 1    x > 0    1-x² ≥ 0       => {    0 ≤ x ≤ 1    x > 0    -1 ≤ x ≤ 1

f ∈ ([0,1])

f(0) = -1

f(1) = π/2

∃x₀ ∈ (0,1) : f(x₀) = 0

f'⁽¹⁾(x) = 1/√1-f²(x)

f^'(x) > 0   ∀x ∈(0,1)   → strett. crescente

Prima analisi della funzione

1) Determinare il numero di soluzioni di arcsin √x = √1−x²

f(x) = arcsin √x − √1−x²

D: [0,1]

-1 ≤ √x ≤ 1

x ≥ 0

1−x² ≥ 0

0 ≤ x ≤ 1

x ≥ 0

-1 ≤ x ≤ 1

fₑ ∈ ([0, 1])

f(0) = -1

Per il TE2 ∃ x₀ ∈ (0,1) : f(x₀) = 0

f(x) > 0 <=> arcsin √x > √1−x²

f'(x) = 1/2√x/√1−x − 2x/2√1−x²

(arcsin f(x))' = f'(x)/√1−f²(x)

f'(x) > 0 ∀ x ∈ (0,1) => strett. crescente

Studio dell'equazione xe^|x-1|/x = α

2) x e^|x-1|/x = α, α ∈ ℝ

f(x) = xe^|x-1|/x = { xe^x-1/x = g(x) se x ≥ 1 xe^1-x/x = h(x) se x < 0 ∪ 0 < x < 1 }

D: {x ≠ 0} ℝ \ {0} (-∞;0) ∪ (0;+∞)

|x-1| = { x-1 se x ≥ 1 1-x se x < 1 }

Studio di g(x)

Studio di g(x) = xe^x-1/x

Segno: x > 0

g(1) = 1 A(1,1)

lim_x→+∞ g(x) = +∞

(x-1)/x → 1 _x→+∞

D_g: x ≥ 1 [1,+∞)

y = ex-em = lim_{x → +∞} e^x-1 / e^x = e

q = lim_{x → +∞} xe^x-1/x - ex = +∞ - ∞

= lim_{x → +∞} x(e^x-1/x - e) = 0.∞

= lim_{x → +∞} e^x-1/x - e = 0/0

= lim_{x → +∞} e^x-1/x¹ = -e

y = ex - e

g'(x) = e^x-1/x + x e^x-1(1/x²)

= e^x-1/x + e^x-11/x

= e^x-1/x (1 + 1/x) = e^x-1/x (x + 1)

g'(x) = 0 <=> x + 1 = 0 <=> x = -1

g'(x) > 0 <=> x + 1 > 0

(<=> x + 1 > 0 x > -1

g cresce x > 1

Studio di h(x)

Studio h(x) = x e^-1⁄_x

Segno: x > 0  h(x) > 0

lim_x→-∞ x e^-1⁄_x = -∞

^{1 - x}⁄_x → -1

m = lim_x→-∞ x e^-1⁄_x ⁄ x = e^-1

q = lim_x→-∞ (x e^-1⁄_x - e^-1 x) = lim_x→-∞ x (e^-1⁄_x - e^-1)

= lim_x→-∞ ^{e-1⁄_x - e-1}⁄₁ = lim_x→-∞ ^-1⁄_x2 = e^-1

y = e^-1 x + e^-1 Asintoto obliquo a -∞

lim_x→0^- x e^-1⁄_x = 0

lim_x→0⁺ x e^-1⁄_x = +∞ ⇒ x = 0 Asintoto verticale destro

lim_x→1^- x e^-1⁄_x = 1

h′(x) = e^-1⁄_x + x e^-1⁄_x (-¹⁄_x²) = e^-1⁄_x (1 - ¹⁄_x) = e^{-1⁄_x x - 1}⁄_x

h'(x) = 0 <=> x-1 = 0 <=> x = 1

h'(x) > 0 <=> x-1 > 0

x > 0

x > 1

lim_x→1⁺ f'(x) = lim_x→1⁺ e^x-1/x = 2x⁺¹/x

lim_x→1^- f'(x) = lim_x→1^- e^-1/x = 0

x-1/x

y = e^x - e

f(x) = α

• Se α < 0
• 0 < α < 1
• α = 1
• α > 1
• α ∈ R
• 1 soluzione
• Non ho sol.
• 1 sol.
• 2 sol.

Studio dell'equazione (x² - 1)² e^-x = α

3) (x² - 1)² e^-x = α con α ∈ ℝ

f(x) = (x² - 1)² e^-x

- Df : (-∞, +∞) ℝ

- Segno : ℝ \ {±1}

f(x) > 0 (⇔) (x² - 1)² > 0 (⇔) x² - 1 ≠ 0 (⇔) x ≠ ±1

- limx -> -∞ (x² - 1)² e^-x = +∞

m = ‎lim _{x -> -∞} (x² - 1)² e^-x / x = ‎lim _{x -> -∞} ( (x² - 1)² / x ) e^-x = -∞

= ‎lim _{x -> -∞} ( (x² - 1)² / x ) e^-x = -∞

(x² - 1)² / x = ( x² (1 - 1 / x²) )² = x³ (1 - 1 / x² )² -> -∞

Quindi non c'è asintoto obliquo a -∞.

• ‎lim _{x -> +∞} (x² - 1)² e^-x = 0

• ‎lim _{x -> +∞} (x² - 1)² / e^x = 0 => y = 0 è Asintoto orizzontale a +∞

{ x = 0

f(x) = (x² - 1)² e^-x => A(0, 1)

B (1,0)  C(-1,0)

f'(x) = 2(x²-1)・2x e^-x + (x²-1)² e^-x(-1)

= 4x(x²-1) e^-x - (x²-1)² e^-x

= (x²-1) e^-x [4x - (x²-1)]

= (x²-1) e^-x (4x - x²+ 1)

f'(x)=0  ↔  x²-1 = 0             4x-x²+1 = 0

   ↔  x = ±1            x = 2 ± √5

       x²-4x-1=0  Δ = 16+4 = 20

       x = ^{4 ± 2√5}⁄₂ = 2 ± √5

f'(x)>0  ↔  x²-1 > 0        4x-x²+1 > 0

   ↔  x < -1 ∪ x > 1         2 - √5 < x < 2 + √5

-1  min

2-√5  max

1  min

2+√5  max

(-1,f(-1)) = (-1,0)  min. assoluto

(1,f(1)) = (1,0)  min. assoluto

(2−√5, ((2−√5)²−1)² e^2−√5) max rel.

(2+√5, ((2+√5)²−1)² e^2+√5) max rel.

f(x) = α α ∈ ℝ

• Se α < 0 nessuna sol.
• Se α = 0 2 sol.
• Se 0 < α < f(2−√5) 5 sol.
• Se α = f(2−√5) 4 sol.
• Se f(2−√5) < α < f(2+√5) 3 sol.
• Se α = f(2+√5) 2 sol.
• Se α > f(2+√5) 1 sol.