Equazioni differenziali: Esercizi e Prove d'esame per studenti d'Ingegneria

Equazioni differenziali

D) lineari

1. Equazioni differenziali del I ordine
   • Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili): y' = a(x) y
   • Equazioni differenziali non omogenee: y' + a(x) y = b(x)
2. Equazioni differenziali del II ordine
   • Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti: y'' + a y' + b y = 0
   • Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti: y'' + a y' + b y = f(x)
3. Equazioni differenziali del n-simo ordine
   • Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti: y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n y = 0
   • Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti: y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n y = f(x)

Equazioni differenziali

Lineari

1. Equazioni differenziali del I ordine
   • Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili): y' = a(x) y
   • Equazioni differenziali non omogenee: y' + a(x) y = b(x)
2. Equazioni differenziali del II ordine
   • Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti: y'' + ay' + by = 0
   • Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti: y'' + ay' + by = f(x)
3. Equazioni differenziali del n-esimo ordine
   • Equazioni differenziali omogenee a coeff. costanti: y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_m-1y' + a_my = 0
   • Equazioni differenziali non omogenee a coeff. costanti: y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + ... + a_n-1y' + a_my = f(x)

B) non lineari

1. Equazioni differenziali del I ordine
   • Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili): y' = a(x) b(y)

Equazioni differenziali omogenee (a variabili separabili)

1) y' = a(x) y

Per determinare le soluzioni si segue la seguente strada

1. Scritto y' = a(x) y
2. Si separano le variabili dy/y = a(x) dx
3. Si integra ∫ dy/y = ∫ a(x) dx
4. Si ottiene la soluzione del tipo y = F(x) + c

Esercizi

1. y' = x/y

dy/dx = x/y => y dy = x dx => ∫ y dy = ∫ x dx => y²/2 = x²/2 + c => y² = x² + 2c => y² - x² = c ^c > 0 iperbole equilatera y² - x² = c'c ^c Soluzione y = ± √(x² +2c)

2. y' = -x/y

dy/dx = -x/y => y dy = -x dx => ∫ y dy = - ∫ x dx => y²/2 = -x²/2 + c => y² + x² = cche è un'eq. appartenente alla famiglia delle circonferenze.

3. y' = y/tg x

dy/y = dx/tg x => ∫ dy/y = ∫ cos x dx/sen x => ∫ dy/y = ∫ dsen x/sen x =>ln y = ln sen x + ln c => ln y = ln c . sen x => y = c'. sen x c'

4. y' = 8xy

dy/dx = 8xy => ∫ dy/y = ∫ 8x dx => ln y = 8*x²/2 + c => ln y = ln c a² x² l => y = c a² x² l

5. y' = xc/x² + 1 - y

dy/dx = y/(x² + 1) => ∫ dy/y = ∫ 1/(x² + 1) dx => ln y = ln √(x² + 1) + c => ln y = ln √(x² + 1) + ln e^cln y = ln c’ . √(x² + 1) => y = c' √(x² + 1)c’ ˃ 0< c : = ± e^c

dy/dx = cos x . ydy/y = cos x . y => ∫ dy/y = ∫ cos x dx => ln y = sin x + c => y = e^{sin x + c} => y = e^{sin x} . e^cy = c' e^{sin x}< c’ ˃ 0c : = e^c

dy/dx = √x . ydy/y = √x . y => ∫ dy/y = ∫√x dx => ln y = x^3/2 / (3/2) + c => ln y = ln e^{(3/2 x + c)} => ln y = ln e^{(3/2 x + c)} y = c' x^3/2< c’ ˃ 0c : = ± e^c

dy/dx = y/(x ln x)∫dy/y = 1/(x ln x) dx => ln y = ln ln x + ln e^c => ln y = ln (ln x . e^c) => y = c' ln x< c’ ˃ 0c : = ± x^c

dy/dx = cotg x ydy/y = cotg x dx => ∫ dy/y = ∫ cotg x dx => ∫ dy/y ∫ 1/ tg x dx => ln y = ∫ cos x/ sin x dx =>ln y = ln sin x + ln e^c = ln y = ln (sin x . e^c) = > y = e^c . sin x =>y = c' . e^c . sin x< c’ ˃ 0c : = ± e^c

Equazioni differenziali non omogenee

1. y'