Effetto in avanti

Effetto in avanti

Conservazione del momento angolare

Effetto in avanti

Conservazione del momento angolare

Una palla da biliardo, inizialmente ferma, riceve un breve colpo da una stecca tenuta orizzontalmente a distanza h dalla linea passante per il centro della figura. La palla lascia la stecca con velocità v_o e, a causa dell’“effetto in avanti”, acquista alla fine una velocità finale ⁹/₄ v_o. Dimostrare che h = ⁴/₅ R dove R è il raggio della palla.

L’impulso del momento è uguale alla variazione del momento angolare, cioè l’integrale del momento delle forze esterne per il tempo in cui esse agiscono è uguale alla variazione del momento angolare. Determiniamo il momento delle forze esterne e il momento angolare, rispetto a P.

Si ha che il momento delle forze esterne è τ = F(R + k) in quanto F è orizzontale ed f passa per P. L’integrale del momento τ per il tempo in cui agisce T è quindi la forza F, cioè per il tempo t in cui dura l’urto tra la stecca e la palla è ∫₀^t τdt = ∫₀^t F(R + k) dt.

Il momento angolare iniziale è nullo perché la palla è ferma; quello finale è Iω dove I è l’inerzia di una sfera rispetto ad un asse tangente alla sfera in un punto ed ω = ^v/_R è la velocità angolare di rotazione della sfera essendo R il suo raggio e v la velocità finale con cui si muove la palla.

Si ha cioè ∫₀^t F(R + k) dt = I^v/_R. (R + k) è una costante e può essere tirato fuori dal segno di integrale. Si ha (R + k) ∫₀^t F dt = I ^v/_R.