Durata massima di un eclissi lunare

Durata massima di un'eclissi lunare

Gravitazione

Durata massima di un'eclissi lunare

Gravitazione

Supponendo che l'orbita della Terra intorno al Sole e che quella della Luna intorno alla Terra siano circolari e complanari, noti i seguenti dati numerici:

1. raggio del Sole, R₀ = 696.000 Km
2. distanza Terra-Sole, d₀ = 150.000.000 Km
3. raggio della Terra, R_T = 6.400 Km
4. distanza Terra-Luna, d = 60 R_T
5. raggio della Luna, R_L = 1.700 Km
6. accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, g = 9,81 m/s², stimare la durata approssimativa, nella fase di totalità, di una eclissi lunare.

La Figura 9.7.1 rappresenta (non in scala) la sezione piana del sistema che caratterizza un’eclissi di Luna. Il cerchio con centro in O rappresenta il Sole e quello con centro T la Terra. Sono evidenziate le zone di penombra ed il cono d’ombra BB'V del quale dovremo calcolare l’altezza TV e l’angolo di semi-apertura θ. L’arco di circonferenza MEFN rappresenta un tratto dell’orbita lunare. Lo scopo del problema è determinare quanto tempo la Luna, muovendosi sulla sua orbita, rimane completamente oscurata dal cono d’ombra proiettato dalla Terra. Cominciamo col calcolare la misura di TV. Considerati i triangoli OAV e TBV rettangoli rispettivamente in A e B, rileviamo che essi sono simili avendo in comune l’angolo acuto θ = BVT; dunque vale la seguente uguaglianza di rapporti:

^AO/_BT = ^OV/_TV

Posto TV = x, sapendo che OT = d₀, AO = R₀, BT = R_T e che OV = OT + TV, la precedente uguaglianza può scriversi nel modo seguente:

^R₀/_RT = ^d₀+x/_x

E’ possibile così ottenere l’altezza del cono d’ombra:

x = ^d₀R_T/_R0−RT (1)

Il valore numerico che si può dedurre dalla (1) è x ≅ 1.392.000 Km. Dal triangolo TBV si ottiene anche la semi-apertura θ del cono:

sen θ = ^R_T/_x

Ma, poiché R_T << x, si può concludere che:

θ ≅ ^R_T/_x (2)

Cerchiamo ora di calcolare la semi-apertura α dell’angolo sotto il quale si vede dal centro della Terra il tratto di orbita lunare immerso nell’ombra. Determiniamo dapprima l’angolo β dagli elementi del triangolo BTE; si ottiene:

sen β = ^R_T/_d

Ma anche in questo caso, essendo R_T << d, segue che:

β ≡ ^R_T⁄_d (3)

Osserviamo ora che l’angolo β è esterno al triangolo TEV e come tale esso uguaglia la somma degli angoli interni non adiacenti; pertanto:

β = α + θ

e quindi:

α = β - θ

Utilizzando i risultati (2) e (3) si ottiene alla fine:

α=R_T (1⁄d - 1⁄x) (4)

L’arco l di orbita lunare sotteso dall’angolo 2α è espresso da l = 2αd ma, essendo noto α dalla (4), si può scrivere:

l=2d R_T (1⁄d - 1⁄x) (5)

Sostituendo nella (5) i valori numerici noti e quello di x dedotto dalla (1), si trova:

l ≡ 9.269 Km

Osserviamo ora che la Luna, essendo un corpo esteso di raggio R_L, quando percorre l’arco di orbita l, rimane completamente oscurata nel tratto l' = l – 2R_L; ciò equivale ad affermare che il centro di massa della Luna deve compiere un tratto l' < l per risultare totalmente oscurata. Si veda in proposito la figura esplicativa 9.7.2.

(Figura 9.7.2)