Dimensione sottospazi vettoriali

Dimensione sottospazi vettoriali, trasformazione ortogonale, sistema lineare omogeneo

Dimensione sottospazi vettoriali, trasformazione ortogonale, sistema lineare omogeneo

1) Siano dati due sottospazi vettoriali V, W di R⁴ entrambi di dimensione 2. Quale tra le seguenti affermazioni è possibile?

• V + W ha dimensione 3
• V ∩ W ha dimensione 3
• V ∩ W ha dimensione 1 e V + W ha dimensione 4
• V ∩ W = {0} e V + W ha dimensione 2
• V = W e V + W ha dimensione 3

La risposta corretta segue dalla relazione di Grassmann.

2) Sia f : R³ → R³ una trasformazione ortogonale con determinante 1. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• F può non avere autovalori reali.
• F può non essere diagonalizzabile.
• F conserva gli angoli tra due vettori.
• F è un isomorfismo.
• F conserva le lunghezze dei vettori.

Il polinomio caratteristico di f ammette sempre almeno una radice reale perché ha grado dispari.

3) Dato un sistema lineare omogeneo AX = O con matrice A ∈ R^3,5, quale tra le seguenti affermazioni è falsa?

• L’insieme delle soluzioni del sistema non costituisce un sottospazio vettoriale di R⁵
• L’insieme delle soluzioni del sistema non costituisce un sottospazio vettoriale di R³
• Il sistema ammette infinite soluzioni.
• Il sistema ammette almeno una soluzione.
• Il sistema non ammette un’unica soluzione.