Appunti spazi vettoriali (rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, somma e intersezione di spazi vettoriali, basi, dimensione, spazi Euclidei, Gram-Schmidt)

Name: Appunti spazi vettoriali (rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche, somma e intersezione di spazi vettoriali, basi, dimensione, spazi Euclidei, Gram-Schmidt)
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Author: AlessioBuc99

Revisionato il 24/07/2026

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Appunti corso di Geometria e Algebra lineareArgomenti trattati:-nozione di gruppo e campo-definizione di spazio vettoriale-prodotto scalare standard in R^n-norma, disuguaglianza triangolare e di …

Esame Geometria e algebra lineare

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Iannuzzi Andrea

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2020-2021

86 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Geometria 01/03/23

G = insieme (anche il più astratto) munito di una qualsiasi binaria.

Operazione binaria

Operazione binaria f: G x G → G.

Applicazione o una legge.

Un esempio di applicazione è la funzione, dove un elemento x può comparire due volte:

f: A → B

La quale associa ad ogni elemento di un insieme A, un unico elemento di B.

Gruppo

(G, * ) è un gruppo se:

L'operazione è associativa (non implica l'ordine)
Esiste neutro (per esempio e)
Elemento inverso (opposto)

e * g = g * e = g

g^-1 t.c. g^-1 * g = e, g * g^-1 = e ∀ g ∈ G

Definizione

Un insieme G è commutativo (o Abeliano) se g * h = h * g ∀ h, g ∈ G.

Esempi di gruppi infiniti

(Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) → tutti infiniti.

Ad esempio (N,+) non è un gruppo perché non esiste l'inverso perché (N = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ...

Geometria 02/03/23

G insieme (iniziale, finito, alfabeto) messo di una operazione binaria.

Operazione binaria

Applicazione & lesse legge.

Un esempio di applicazione è la funzione, dove un insieme è in rapporto dell'altro.

A → B →

La quale associa ad ogni elemento di un insieme A uno unico elemento di B.

Gruppo

(G, *) è un gruppo se:

L'operazione è associativa (non significa l'ordine)
Esiste identità neutra (per esempio è e)
Elemento inverso (opposto)

g * e = e * g = g

g^-1 t.c. g^-1 * g = e, g * g^-1 = e ∀g∈G

Definizione

Un insieme G è commutativo (o Abeliano) se g * h = h * g ∀h, g ∈ G.

Esempi di gruppi infiniti

(ℤ, +), (ℚ, +), (ℝ, +), (ℂ, +) → tutti infiniti.

Ad esempio (ℕ, +) non è un gruppo perché non esiste l'insieme posito ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Esempi gruppi finiti

Gruppo delle rotazioni

Z₂ = {[0], [1], [2], [3], [4], [5], [6]}

Tutte le g. di tutte g. delle rotaz di 60° = gruppi abeliani.

Gruppi simmetrici

Gruppi simmetrici

Sm numero di n elementi:

Equivalente identità con A = {1, 2, …, m} D è un insieme finito.

Sn = {f : A -> A applicazione biliettiva} ovvero tutte le applicazioni biliettive da A -> A

2/03/21

S_m = { f: A → A applicazioni con #A=m, biettiva }

Quindi A={1,2,3,...,m}

Consideriamo S₂ = applicazioni

e : {1,2} → {1,2}

1 → 1

2 → 2

g : {1,2} → {1,2}

1 → 2

2 → 1

Quindi S₂ ha due elementi e tramite dell'operatore binario o: S₂ x S₂ → S₂, diventa un gruppo.

(f,g) → f o g

{ f o g } (x) = f {g(x)}

L'identità è l'elemento neutro.

f o Id = f

Id o f = f

Inoltre dato che le applicazioni sul finito esiste una l'inversa, quindi {S_m, o} è un gruppo.

g² = g o g = e

Prove

g o g(1) = g{g(2)} = 1

g o g(2) = g (1) = 2

Identità

Permuto le R

#S₃ = 3! = 6

Quindi (S₃, °) = #S₃ = 6

S₃ = { (1 2 3) (1 2)(3) (1 3 2) (1)(2 3) (2 3 1) (2)(3 2)(1) }

Dove (1 2 3) vuol dire p: A → A,

1 → 2

2 → 3

3 → 2

Applicazione

Identità

S₃ = { (1,1,2), (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (1,3,1), (1,3,2) }

Ciclo 2 → una r.

Quale posto (^{2 3} _{3 1 2}) ciclo (^{1 3 2})

(1 2 3)

(1 3 2)

Va su una r.

Composizione

Infatti (S₃, °) è un gruppo perché:

Associativa: (p o q) o h = p o (q o h)
R ha identità neutra (inverso richieda)
Rⁿ assache applicazione

Come trovare inverso se h. (² _{1 3}) Infatti h² = (^{1 2 3} _{2 1 3}) => Ro|hi(2) = 2

Questi ominos da tutte le spezzatine con strutture cicliche per a 2 ritrovo e p o dell'applicazione la posizione. Matto per non 2 ves per quelli con struttorei cicliche per u. 3.

g_j = (^{1 2 3} _{2 3 1}) g_j^-1 = (^{1 2 3} _{3 1 2}) => Rilàng essereire l conecta risca in quello sono di g

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