Cordicella elastica di gomma

Cordicella elastica di gomma

La conservazione dell’energia

Cordicella elastica di gomma

La conservazione dell’energia

Supponiamo che la cordicella sia elastica, per esempio di gomma, e che quando viene lasciata libera la palla abbia lunghezza a riposo l.

1. Spiegare perché ci si aspetta che la palla raggiunga un punto in basso a distanza maggiore di l rispetto al punto di sospensione.
2. Dimostrare, mediante considerazioni dinamiche ed energetiche, che se Δl è piccolo in confronto a l, la cordicella si allunga di un tratto Δl = 3mg/k dove k è la costante elastica della cordicella. Si noti che quanto maggiore è k, tanto più piccolo è Δl e migliore l'approssimazione Δl ≪ l.
3. Dimostrare che in questa ipotesi la velocità della palla nel punto più basso della sua traiettoria è v = √2g(l-3mg/2k), minore di quella che avrebbe nel caso di una cordicella inestensibile (k = ∞). Mediante considerazioni energetiche si spieghi fisicamente questo risultato.

Le forze che agiscono sul sistema sono la forza-peso, la forza esercitata dalla molla elastica. Queste sono forze conservative, per cui si ha K₀+U₀=K+U, dove U₀ e K₀ si riferiscono alla posizione A₁ iniziale, U e K a una generica posizione. Si ha v₀=0 per cui K₀=0. Quando la velocità è v si ha K=½mv².

L'energia potenziale è dovuta alla forza gravitazionale e alla forza esercitata dalla molla elastica. L'energia potenziale è uno scalare e come tali si sommano i due termini. Si ha l'energia potenziale dovuta alla forza gravitazionale che è U₁=-mgy in un riferimento con l'origine nel punto di sospensione e l'asse y verticale verso il basso avendo posto (U₁)₀=0, cioè nulla l'energia potenziale gravitazionale nel punto di partenza. L'energia potenziale è dovuta alla presenza della molla è: U₂=½kη² dove η è l'allungamento della corda elastica nella direzione della corda stessa.

Abbiamo preso in questo caso un riferimento costituito da un asse passante per il punto di sospensione, diretto come la corda, verso la palla, e con l'origine a distanza l dal punto di sospensione.

Quest'asse ruota solidamente al sistema, abbiamo posto (U₂)₀ = 0, cioè nulla l'energia potenziale nella posizione indeformata della corda. Si ha: U₁ = U₀ + V₀ = -mgy₁ + ¹⁄₂kn²; si ha: 0 = ¹⁄₂ mv² + ¹⁄₂ kn² - mgy₁.

Nella posizione più bassa, se la corda si è allungata di r - ΔL ed è y = l + ΔL si ha: 0 = ¹⁄₂ m v² + ¹⁄₂ K ΔL² - mgl - mg ΔL.

D'altra parte la componente radiale della risultante della forza gravitazionale e di quella della molla elastica imprime alla sfera un'accelerazione centripeta v²/R dove R è il raggio della circonferenza nel punto considerato. Interessandoci al punto B, per cui R = l + ΔL si ha: -mg + KΔL = ^mv2⁄_l+ΔL (*).

O = KΔL² - mg ^L2⁄₂ - mg ^ΔL2⁄₂ + KΔL - mgl - mg ΔL O = ³⁄₂ mgl² - ^{3⁄₂ mg ΔL + KΔL2 + KΔL2⁄₂ - ΔL2 3⁄₂ mg ΔL - 3⁄₂ mgl = 0}

Da cui (**) ΔL₂ - ΔL (¹⁄₂ + ³⁄₂) + ³⁄₂ mgl ³⁄_k - ³⁄₂ mgl = 0